Question

宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為R，今設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的α倍，因α量很小，所以飛船新軌道不會(huì)與火星表面交會(huì)，如圖所示，飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計(jì)．
（1）試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h_近，和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h_遠(yuǎn)．
（2）設(shè)飛船原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度為v₀，試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)開(kāi)普勒定律中的面積定律、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)開(kāi)普勒定律中的周期定律列式求解．

解答：解：（1）設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為M和m，飛船沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，飛船在最近點(diǎn)或最遠(yuǎn)點(diǎn)與火星中心的距離為r，飛船速度為v．
因飛船噴氣前繞圓軌道的面積速度為

1

2

r0v0，等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點(diǎn)的面積速度

1

2

r0vpsinθ（P為圓和橢圓的交點(diǎn)），
由開(kāi)普勒第二定律，后者又應(yīng)等于飛船在近、遠(yuǎn)火星的面積速度

1

2

rv，
故

1

2

r0v0=

1

2

r0vpsinθ=

1

2

rv
即　r₀v₀=rv　　       　  ①
由機(jī)械能守恒定律　

1

2

mv2-G

Mm

r

=

1

2

m(

v

2 0

+a2

v

2 0

)-G

Mm

r0

                ②
飛船沿原圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，有　G

Mm

r 2 0

=m

v 2 0

r0

                                   ③
式中　r₀=R+H，r=R+h
上述三個(gè)方程消去G、M、v₀后可解得關(guān)于r的方程為(1-α2)r2-2r0r+

r

2 0

=0
上式有兩個(gè)解，大者為r_遠(yuǎn)，小者為r_近，即

r近= r0 1+α = R+H 1+α r遠(yuǎn)= r0 1-α = R+H 1-α

故近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星表面的高度為h近=r近-R=

H-αR

1+α

，h遠(yuǎn)=r遠(yuǎn)-R=

H+αR

1-α

，
（2）設(shè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a，則r_近+r_遠(yuǎn)=2a
即　　a=

r0

1-α2

飛船噴氣前繞圓軌道運(yùn)行的周期為　　T0=

2πr0

v0

設(shè)飛船噴氣后，繞橢圓軌道運(yùn)行的周期為T，由開(kāi)普勒第三定律得　　

T

T0

=(

a

r0

)3/2
故T=T0(

a

r0

)3/2=

2πr0

v0

(

1

1-α2

)3/2
T=

2π(R+H)

v0

(

1

1-α2

)3/2
答：（1）試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h_近為

H-αR

1+α

，遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h_遠(yuǎn)為

H+αR

1-α

；
（2）計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T為

2π(R+H)

v0

(

1

1-α2

)3/2．

點(diǎn)評(píng)：本題是開(kāi)普勒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合運(yùn)用問(wèn)題，目前對(duì)于開(kāi)普勒三定律，多數(shù)省份是不要求定量計(jì)算的，較難．