Question

8．發(fā)射同步衛(wèi)星時，大致分為三個步驟：先將衛(wèi)星發(fā)射到近地衛(wèi)星軌道作勻速圓周運動，之后變軌到橢圓軌道，最后再變軌到同步衛(wèi)星軌道作勻速圓周運動．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，使用這三個已知量，求：
（1）衛(wèi)星在近地衛(wèi)星軌道繞地球運行時的速率；
（2）衛(wèi)星在同步衛(wèi)星軌道繞地球飛行時離地面的高度h；
（3）衛(wèi)星在同步衛(wèi)星軌道繞地球飛行時的速度．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，即可求解運行的速率；
根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合同步衛(wèi)星的周期，即可求解；
根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合高度，即可求解

解答 解：（1）對衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{V}^{2}}{R}$
在地球表面物體所受重力等于萬有引力，即
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立得
V=$\sqrt{gR}$
（2）對同步衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力，有
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得
h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（3）由（2）得同步衛(wèi)星的軌道半徑為
r=R+h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以同步衛(wèi)星的運行速率為
V=$\frac{2πr}{T}$=$2π\(zhòng)root{3}{\frac{g{R}^{2}}{4{π}^{2}T}}$
答：（1）衛(wèi)星在近地衛(wèi)星軌道繞地球運行時的速率$\sqrt{gR}$；
（2）衛(wèi)星在同步衛(wèi)星軌道繞地球飛行時離地面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）衛(wèi)星在同步衛(wèi)星軌道繞地球飛行時的速度$2π\(zhòng)root{3}{\frac{g{R}^{2}}{4{π}^{2}T}}$．

點評 考查萬有引力定律的應(yīng)用，掌握牛頓第二定律的內(nèi)容，理解萬有引力提供向心力的做勻速圓周運動，注意要結(jié)合題意來合理書寫向心力表達(dá)式