Question

（20分）圖中M₁和M₂是絕熱氣缸中的兩個(gè)活塞，用輕質(zhì)剛性細(xì)桿連結(jié)，活塞與氣缸壁的接觸是光滑的、不漏氣的，M₁是導(dǎo)熱的，M₂是絕熱的，且M₂的橫截面積是M₁的2倍。M₁把一定質(zhì)量的氣體封閉在氣缸的L₁部分，M₁和M₂把一定質(zhì)量的氣體封閉在氣缸的L₂部分，M₂的右側(cè)為大氣，大氣的壓強(qiáng)P₀是恒定的。K 是加熱L₂中氣體用的電熱絲。初始時(shí)，兩個(gè)活塞和氣體都處在平衡狀態(tài)，分別以V₁₀和V₂₀表示L₁和L₂中氣體的體積。現(xiàn)通過K對(duì)氣體緩慢加熱一段時(shí)間后停止加熱，讓氣體重新達(dá)到平衡態(tài)，這時(shí)，活塞未被氣缸壁擋住。加熱后與加熱前比，L₁和L₂中氣體的壓強(qiáng)是增大了、減小了還是未變？要求進(jìn)行定量論證。

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Answer 1

解法一

用n₁和n₂分別表示L₁和L₂中氣體的摩爾數(shù)，P₁、P₂和 V₁、V₂分別表示L₁和L₂中氣體處在平衡態(tài)時(shí)的壓強(qiáng)和體積，T表示氣體的溫度（因?yàn)?M₁是導(dǎo)熱的，兩部分氣體的溫度相等），由理想氣體狀態(tài)方程有               

             p₁V₁=n₁RT                                      （1）

              P₂V₂=n₂RT                                      （2）

式中R為普適氣體常量。若以兩個(gè)活塞和輕桿構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，處在平衡狀態(tài)時(shí)有p₁S₁－p₂S₁+p₂S₂－p₀S₂=0                                       （3）

已知        S₂=2S₁                                            （4）

由（3）、（4）式得

 p₁+p₂=2p₀                                         （5）

由（l）、（2）、（5）三式得

                                               （6）

若（6）式中的V₁、V₂是加熱后L₁和L₂中氣體的體積，則p₁就是加熱后L1中氣體的壓強(qiáng)。加熱前L₁中氣體的壓強(qiáng)則為

                                             （7）

設(shè)加熱后，L₁中氣體體積的增加量為△V₁，L₂中氣體體積的增加量為△V₂，因連結(jié)兩活塞的桿是剛性的，活塞M₂的橫截面積是M₁的2倍，故有

          △V₁=△V₂=△V                                      （8）

加熱后，L₁和L₂中氣體的體積都是增大的，即△V > 0。[若△V<0，即加熱后，活塞是向左移動(dòng)的，則大氣將對(duì)封閉在氣缸中的氣體做功，電熱絲又對(duì)氣體加熱，根據(jù)熱力學(xué)第一定律，氣體的內(nèi)能增加，溫度將上升，而體積是減小的，故L₁和L₂中氣體的壓強(qiáng)p₁和p₂都將增大，這違反力學(xué)平衡條件（5）式］

于是有    V₁=V₁₀+△V                                         （9）

          V₂=V₂₀+△V                                         （10）

由（6）、（7）、（9）、（10）四式得

                 （11）

由（11）式可知，若加熱前V₁₀=V₂₀，則p₁＝p₁₀，即加熱后p₁不變，由（5）式知p₂亦不變；若加熱前 V₁₀＜V₂₀，則p₁< p₁₀，即加熱后P₁必減小，由（5）式知P₂必增大；若加熱前 V₁₀＞V₂₀, 則p₁> p₁₀，即加熱后p₁必增大，由（5）式知p₂必減小。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 20 分。高.考.資.源.網(wǎng)

得到（5）式得3分，得到（8）式得3分，得到（11）式得8分，最后結(jié)論得6分。

解法二高.考.資.源.網(wǎng)

設(shè)加熱前L₁和L₂中氣體的壓強(qiáng)和體積分別為p₁₀、p₂₀和V₁₀、V₂₀，以p_l、p₂和V₁、V₂分別表示加熱后L₁和L₂中氣體的壓強(qiáng)和體積，由于M₁是導(dǎo)熱的，加熱前L₁和L₂中氣體的溫度是相等的，設(shè)為T₀，加熱后L₁和L₂中氣體的溫度也相等，設(shè)為T．因加熱前、后兩個(gè)活塞和輕桿構(gòu)成的系統(tǒng)都處在力學(xué)平衡狀態(tài)，注意到S₂=2S₁，力學(xué)平衡條件分別為

             p₁₀+p₂₀=2p₀                                       （1）

                    p₁+p₂=2p₀                                                         （2）

由（l）、（2）兩式得

            p₁－p₁₀=－ (p₂－p₂₀)                                 （3）

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，對(duì)L1中的氣體有

                                                   （4）

對(duì) L：中的氣體有

                                       （5）

由（4）、（5）兩式得

                                                （6）

（6）式可改寫成

              （7）

因連結(jié)兩活塞的桿是剛性的，活塞M₂的橫截面積是M₁的2倍，故有

         V₁－V₁₀=V₂－V₂₀                                        （8）

把（3）、（8）式代入（7）式得

                （9）

若V₁₀=V₂₀，則由（9）式得p₁=p₁₀，即若加熱前，L₁中氣體的體積等于L₂中氣體的體積，則加熱后L₁中氣體的壓強(qiáng)不變，由（2）式可知加熱后L₂中氣體的壓強(qiáng)亦不變。

若V₁₀<V₂₀，則由（9）式得p₁< p₁₀，即若加熱前，L₁中氣體的體積小于L₂中氣體的體積，則加熱后L₁中氣體的壓強(qiáng)必減小，由（2）式可知加熱后L₂中氣體的壓強(qiáng)必增大。

若V₁₀>V₂₀，則由（9）式得p₁> p₁₀，即若加熱前， L₁中氣體的體積大于L₂中氣體的體積，則加熱后 L₁中氣體的壓強(qiáng)必增大，由（2）式可知加熱后L₂中氣體的壓強(qiáng)必減小。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題 20 分。

得到（l）式和（2）式或得到（3）得3分，得到（8）式得3分，得到（9）式得8分，最后結(jié)論得6 分。