Question

5．如圖所示，不帶電的質(zhì)量為m物體a和帶電量為+q的質(zhì)量2m的物體b通過輕繩和不計(jì)摩擦的定滑輪相連，均處于靜止?fàn)顟B(tài)．a(chǎn)與水平面上固定的勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，Q點(diǎn)有一擋板，若有物體與其垂直相碰會(huì)以原速率彈回．現(xiàn)剪斷a、b之間的繩子，a開始上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，b下落至P點(diǎn)后，在P點(diǎn)有一個(gè)特殊的裝置使b以落至P點(diǎn)前瞬間的速率水平向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在P、Q之間加一水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E=$\frac{mg}{q}$（圖中未畫出）當(dāng)b靜止時(shí)，a恰好首次到達(dá)最低點(diǎn)，已知PQ長(zhǎng)S₀，重力加速度為g，b距P點(diǎn)高h(yuǎn)，且僅經(jīng)過P點(diǎn)一次，b與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，a、b均可看做質(zhì)點(diǎn)，彈簧在彈性限度范圍內(nèi)，試求：
（1）物體a的最大速度的大小；
（2）物體b停止的位置與P點(diǎn)的距離d．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)彈簧彈力與a的重力相等時(shí)a的速度最大，由機(jī)械能守恒定律可以求出最大速度．根據(jù)彈簧振子的周期公式求出a的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）由動(dòng)能定理求出b在水平面上的路程，注意分別對(duì)b未到達(dá)擋板Q就在PQ上停止和b與擋板Q有一次碰撞后，在PQ上停止整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，通過計(jì)論求解．

解答 解：（1）繩剪斷前，系統(tǒng)靜止，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為x₁；對(duì)a、b系統(tǒng)：kx₁=mg
x₁=$\frac{mg}{k}$                                     
繩剪斷后，物體a所受合外力為零時(shí)，速度最大，設(shè)彈簧壓縮量為x₂，對(duì)a物體：kx₂=mg                              
x₂=$\frac{mg}{k}$                                   
由x₁，x₂兩個(gè)狀態(tài)的彈性勢(shì)能相等，由a與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：
mg（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$mv²                                       
解得：v=2g                                      
（2）討論：
①若b未到達(dá)擋板Q就在PQ上停止對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)由動(dòng)能定理得：
2mgh-μ2mgd-qEd=0                         
得：d=$\frac{2h}{2μ+1}$
②若b與擋板Q有一次碰撞后，在PQ上停止整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)由動(dòng)能定理得：
2mgh-μ2mg（2S₀-d）-qEd=0              
得：d=$\frac{2h-4μ{S}_{0}}{1-2μ}$
答：（1）物體a的最大速度的大小為2g；
（2）物體b停止的位置與P點(diǎn)的距離d為$\frac{2h}{2μ+1}$或$\frac{2h-4μ{S}_{0}}{1-2μ}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度、時(shí)間、距離問題，分析清楚物體有難度過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理即可正確解題；特別對(duì)第2問要注意全面分析，討論求解．