Question

17．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的軌道由一段傾角為37°的粗糙斜軌道和半徑為0.4m的光滑半圓形軌道連接而成，一質(zhì)量為0.2kg的小球從斜面上某處由靜止開始下滑，小球和斜軌道間動摩擦因數(shù)為0.375，小球通過軌道最低點時無能量損失，運動到半圓軌道的最高點時對軌道的壓力大小為6N，g取10m/s²，求：
（1）小球在斜面上開始釋放的位置距半圓形軌道最低點的高度．
（2）小球離開半圓形軌道最高點后第一次到達斜面時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）在圓形軌道最高點，由重力和軌道的壓力的合力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出小球通過最高點時的速度，由動能定理可以求出高度．
（2）小球離開半圓形軌道最高點后做平拋運動，由運動學公式和幾何關(guān)系結(jié)合可以求出運動時間，再根據(jù)速度的合成求解．

解答 解：（1）在圓形軌道最高點，小球所受合力提供圓周運動向心力有：
$mg+N=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得v=$\sqrt{gr+\frac{Nr}{m}}=\sqrt{10×0.4+\frac{6×0.4}{0.2}}m/s=4m/s$
小球沿斜面釋放至圓形軌道最高點時根據(jù)動能定理得：
$mg（h-2r）-μmg\frac{h}{sinθ}cosθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)可得h=3.2m；
（2）小球離開圓形軌道后做平拋運動，則有
x=vt
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由幾何關(guān)系：$tanθ=\frac{2r-y}{x}$
解得：5t²+3t-0.8=0
得t=0.2s
到達斜面時豎直分速度為 v_y=gt=2m/s
到達斜面的速度大小為 ${v}_{t}=\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}m/s≈4.5m/s$
答：（1）小球在斜面上開始釋放的位置距半圓形軌道最低點的高度為3.2m；
（2）小球離開半圓形軌道最高點后第一次到達斜面時的速度大小為4.5m/s．

點評 分析清楚物體的運動過程，應(yīng)用動能定理、運動學公式、牛頓第二定律即可正確解題；解題時關(guān)鍵要注意幾何知識的應(yīng)用．