Question

2．如圖所示，光滑半圓弧軌道半徑為R，OA為水平半徑，BC為豎直直徑．一質量為m的小物塊自A處以某一豎直向下的初速度滑下，進入與C點相切的粗糙水平滑道CM上，在水平滑道上有一輕彈簧，其一端固定在豎直墻上，另一端恰位于滑道的末端C點（此時彈簧處于自然狀態(tài)）．若物塊運動過程中彈簧最大彈性勢能為E_P，且物塊被彈簧反彈后恰能通過B點．己知物塊與水平滑道間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）物塊離開彈簧剛進入半圓軌道時對軌道的壓力F_N的大小；
（2）彈簧的最大壓縮量d；
（3）物塊從A處開始下滑時的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律求出小物塊運動到B點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出B點的支持力大小，根據(jù)牛頓第三定律可得物塊對對軌道的壓力；（2、3）據(jù)能量守恒定律求出彈簧的壓縮量和A的初速度．

解答 解：（1）由題意可知，物塊在B點滿足：mg=$\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$…①
在物塊由C到B的過程中，由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…②
又由牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$…③
聯(lián)立以上解得：F_N=6mg
（2）彈簧從壓縮到最短開始，至物塊被彈離彈簧的過程中，
據(jù)能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+μmgd={E}_{p}$…④
聯(lián)立①②④解得：d=$\frac{{E}_{p}}{μmg}-\frac{5R}{2μ}$…⑤
（2）物塊由A點到彈簧壓縮到最短過程中，據(jù)能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR={E}_{p}+μmgd$…⑥
聯(lián)立⑤⑥解得：v₀=$\sqrt{\frac{4{E}_{p}}{m}-7gR}$
答：
（1）物塊離開彈簧剛進入半圓軌道時對軌道的壓力F_N的大小6mg；
（2）彈簧的最大壓縮量d為$\frac{{E}_{p}}{μmg}-\frac{5R}{2μ}$；
（3）物塊從A處開始下滑時的初速度v₀為$\sqrt{\frac{4{E}_{p}}{m}-7gR}$．

點評 本題考查了機械能守恒定律的基本運用，以及掌握圓周運動靠徑向的合力提供向心力，通過牛頓第二定律求解支持力的大��；靈活應用能量守恒定律求解，此題難度較大．