Question

如圖所示，兩條光滑的絕緣導軌，導軌的水平部分與圓弧部分平滑連接，兩導軌間距為L，導軌的水平部分有n段相同的勻強磁場區(qū)域（圖中的虛線范圍），磁場方向豎直向上，磁場的磁感應強度為B，磁場的寬度為S，相鄰磁場區(qū)域的間距也為S，S大于L，磁場左、右兩邊界均與導軌垂直．現(xiàn)有一質量為m，電阻為r，邊長為L的正方形金屬框，由圓弧導軌上某高度處靜止釋放，金屬框滑上水平導軌，在水平導軌上滑行一段時間進入磁場區(qū)域，最終線框恰好完全通過n段磁場區(qū)域．地球表面處的重力加速度為g，感應電流的磁場可以忽略不計，求：
（1）剛開始下滑時，金屬框重心離水平導軌所在平面的高度．
（2）整個過程中金屬框內產生的電熱．
（3）金屬框完全進入第k（k＜n）段磁場區(qū)域前的時刻，金屬框中的電功率．

Answer 1

分析：（1）金屬框從光滑導軌下滑的過程中，機械能守恒，要求高度，關鍵要求出金屬框在進入第一段勻強磁場區(qū)域前的速度v₀，可根據法拉第定律、歐姆定律和動量定理，對線框進入第一段、第二段、第三段…磁場區(qū)域列式，再累計求和，即可求出v₀，再根據機械能守恒求解高度．
（2）金屬框穿過第（k-1）個磁場區(qū)域后和完全進入第k個磁場區(qū)域的過程中，由動量定理求得速度，即可求出電功率．

解答：解：（1）設金屬框在進入第一段勻強磁場區(qū)域前的速度為v₀，金屬框在進入和穿出第一段勻強磁場區(qū)域的過程中，線框中產生平均感應電動勢為
  

.

E

=

2BL2

t

平均電流強度為（不考慮電流方向變化）

.

I

=

. E

r

=

2BL2

rt

由動量定理得：
   -B

.

I

Lt=mv1-mv0
   -B

2BL2

rt

Lt=mv1-mv0
   -

2B2L3

r

=mv1-mv0
同理可得：-

2B2L3

r

=mv2-mv1
       -

2B2L3

r

=mv3-mv2
…
整個過程累計得：-n

2B2L3

r

=0-mv0
解得：v0=

2nB2L3

mr

金屬框沿斜面下滑機械能守恒：mgh=

1

2

m

v

2 0

解得  h=

v 2 0

2g

=

2n2B4L6

m2gr2

（2）金屬框中產生的熱量Q=mgh，
解得  Q=

2n2B4L6

mr2

（3）金屬框穿過第（k-1）個磁場區(qū)域后，由動量定理得：-(k-1)

2B2L3

r

=mvk-1-mv0
金屬框完全進入第k個磁場區(qū)域的過程中，由動量定理得：-

B2L3

r

=mv_k′-mv_k-1
解得：v_k′=

(2n-2k+1)B2L3

mr

金屬框中的電功率：P=

(BL v / k )2

r

=

(2n-2k+1)2B6L8

m2r3

答：
（1）剛開始下滑時，金屬框重心離水平導軌所在平面的高度是

2n2B4L6

mr2

．
（2）整個過程中金屬框內產生的電熱是

2n2B4L6

mr2

．
（3）金屬框完全進入第k（k＜n）段磁場區(qū)域前的時刻，金屬框中的電功率是

(2n-2k+1)2B6L8

m2r3

．

點評：本題綜合考查了機械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律等，綜合性較強，對學生能力要求較高，需加強這方面的訓練．