Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)，直線PQ右側(cè)足夠大的區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場和垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，左側(cè)到直線距離為d₁=0.4m的A處有一個(gè)發(fā)射槍．發(fā)射槍將質(zhì)量m=0.01kg，帶電量q=+0.01C的小球以某一初速度v₀水平射出，當(dāng)豎直位移為d₁/2時(shí)，小球進(jìn)入電磁場區(qū)域，隨后恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且圓周最低點(diǎn)C（圖中運(yùn)動(dòng)的軌跡未畫出）到直線PQ的距離為d₂=0.8m．不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．試求：
（1）小球水平射出的初速度v₀和電場強(qiáng)度E；
（2）小球從水平射出至運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）若只將PQ右側(cè)的電場強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼囊话�，小球進(jìn)入電磁場區(qū)域后做曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡的最低點(diǎn)為C′（圖中未畫出），則求：最低點(diǎn)C′離發(fā)射點(diǎn)A的豎直方向距離d及運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度v．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，抓住水平位移是豎直位移的2倍，得出到達(dá)D點(diǎn)的速度與初速度的關(guān)系，球進(jìn)入電磁場后球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明小球受到的電場力與重力大小相等，方向相反．寫出公式求得結(jié)果．
（2）進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動(dòng)畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由幾何關(guān)系可得小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）電場強(qiáng)度減半后，小球進(jìn)入磁場時(shí)，有：mg=E′q+Bqv₀ 小球在電磁場中的運(yùn)動(dòng)可視為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．寫出相應(yīng)的方程，即可求解．

解答：解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，有：d₁=v₀t₁

1

2

d₁=

1

2

gt₁²
解得：t₁=0.2s；v₀=2m/s
小球在電磁場區(qū)域恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，故 Eq=mg
代入數(shù)據(jù)可得：E=10V/m
（2）小球進(jìn)磁場時(shí)：v_y=gt₁=v₀
故v₁=

2

v₀
進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動(dòng)如圖，由幾何關(guān)系可得小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r=

2

d₂
又 qv1B=

m v 2 1

r

代入數(shù)據(jù)可得 B=2.5T
所以T=

2πm

qB

=0.8πs
小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)完成了

1

8

個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)：t₂=

1

8

T=0.1πs
小球從水平射出至運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間 t=t₁+t₂=0.2+0.1π=0.51s；
（3）電場強(qiáng)度減半后，小球進(jìn)入磁場時(shí)，有：mg=E′q+Bqv₀ 小球在電磁場中的運(yùn)動(dòng)可視為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)
有qvyB=

m v 2 y

r′

有 r?=

mvy

qB

=0.8m
所以：d=r?+

1

2

d₁=1m
小球在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，有：Eqr′-mgr′=

1

2

mv²-

1

2

m（

2

v）²
解得：v=0．
答：（1）小球水平射出的初速度為2m/s和電場強(qiáng)度E=10V/m；
（2）小球從水平射出至運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間為0.51s；
（3）最低點(diǎn)C′離發(fā)射點(diǎn)A的豎直方向距離d為1m，運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度為0．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清小球在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律進(jìn)行求解．