Question

如圖所示，質(zhì)量為M=1Kg的長(zhǎng)滑塊B靜止放在光滑的水平地面上，左邊固定一勁度系數(shù)為K=8N/m且足夠長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)有一不可伸長(zhǎng)的輕繩連接于豎直墻壁上，細(xì)線所能承受的最大拉力為T=4N．現(xiàn)使一質(zhì)量為m=2Kg，初速度為v₀的小物體A，在滑塊B上無(wú)摩擦地向左運(yùn)動(dòng)，而后壓縮彈簧．（已知彈簧的彈性勢(shì)能E_P與彈簧的形變量x的關(guān)系：EP=

1

2

Kx2，K為彈簧的勁度系數(shù)）
（1）小物體A的速度v₀滿足什么條件，才能使細(xì)線被拉斷．
（2）若小物體A的初速度v0=

10

m/s，滑塊B向左的最大加速度為多大．
（3）若小物體A離開(kāi)滑塊B時(shí)相對(duì)地面的速度為零，則小滑塊的初速度v₀為多大？

Answer 1

分析：（1）假設(shè)繩子不斷，當(dāng)滑塊速度減為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當(dāng)滑塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開(kāi)時(shí)滑塊速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律列式聯(lián)立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長(zhǎng)木板分離后，速度恰好為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）設(shè)彈簧壓縮量為x₁時(shí)，繩被拉斷，即
kx₁=T①
壓縮彈簧過(guò)程動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，依題意有

1

2

kx12＜

1

2

mv02  ②
聯(lián)立解得：v0＞

T

Km

=

4

8×2

=1m/s  ③
（2）設(shè)繩被拉斷瞬時(shí)，小物體的速度為V₁，有

1

2

kx12+

1

2

mV12=

1

2

mv02 ④
繩斷后長(zhǎng)滑塊加速，小物體減速，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧壓縮量最大為x₂，長(zhǎng)滑塊有向左的最大加速度a_m，此過(guò)程動(dòng)量守恒，有：
mv₁=（M+m）v₂ ⑤
根據(jù)機(jī)械能守恒，有：

1

2

kx22+

1

2

(M+m)v22=

1

2

kx12+

1

2

mv12⑥
由牛頓第二定律得：kx₂=Ma_m ⑦
聯(lián)立①④⑤⑥⑦解得：am=

1

M

kmMv02+mT2 M+m

=8m/s²．⑧
（3）要使小物體離開(kāi)長(zhǎng)滑塊時(shí)相對(duì)地面速度為零，即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)小物體速度為零，此時(shí)長(zhǎng)物塊速度為v．在繩斷開(kāi)至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中，動(dòng)量守恒，能量守恒，故有
Mv=mv₁ ⑨

1

2

Mv2=

1

2

kx12+

1

2

mv12  ⑩
聯(lián)立①④⑨⑩解得m-M=

T2

kv02

由于v02＞0，必有m＞M
所以小物體最后離開(kāi)滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

T2

kv02

．
代入數(shù)據(jù)解得v0=

2

m/s．
答：（1）小物體A的速度v₀滿足v₀＞1m/s，才能使細(xì)線被拉斷．
（2）滑塊B向左的最大加速度為8m/s²．
（3）若小物體A離開(kāi)滑塊B時(shí)相對(duì)地面的速度為零，則小滑塊的初速度v₀為

2

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，較難．