Question

3．有兩顆人造衛(wèi)星，都繞地球做勻速圓周運行，已知它們的軌道半徑之比r₁：r₂=9：4．對于這兩顆衛(wèi)星的運動，求：
（1）線速度之比；
（2）周期之比；
（3）向心加速度之比．

Answer 1

分析 （1）人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運行所需的向心力來源于萬有引力，根據牛頓第二定律列式可得線速度與半徑的關系．
（2）由T=$\frac{2πr}{v}$可得周期之比；
（3）由a=$\frac{{v}^{2}}{r}$可得向心加速度之比．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
$G\frac{Mm}{r}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
軌道半徑之比r₁：r₂=9：4，所以線速度之比：v₁：v₂=2：3；
（2）由T=$\frac{2πr}{v}$知，周期之比T₁：T₂=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}•\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{9}{4}×\frac{3}{2}$=27：8；
（3）由a=$\frac{{v}^{2}}{r}$知，向心加速度之比a₁：a₂=$\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}•\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{4}{9}×\frac{4}{9}$=16：81．
答：（1）線速度之比為2：3；
（2）周期之比為27：8；
（3）向心加速度之比為16：81．

點評 解題的關鍵是要知道天體的運動所需的向心力完全來源于萬有引力，根據牛頓第二定律和向心力公式求解．