Question

4．如圖所示，一豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道ABC，B點(diǎn)為最低點(diǎn)，O為圓心，軌道半徑R=0.3m，OA連線與OB夾角θ=60°．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=0.6kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以某一初速度從P點(diǎn)水平拋出，恰好從圓弧軌道的A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入（不計(jì)空氣阻力），小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v=4m/s（取g=10m/s²，結(jié)果可保留根號(hào)），求：
（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₀的大小；
（2）P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離和豎直高度；
（3）小球到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C時(shí)對軌道的作用力．

Answer 1

分析 （1）小球從P到A做平拋運(yùn)動(dòng)，小球恰好從光滑圓弧軌道的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧，說明小球到A點(diǎn)的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，根據(jù)速度的分解法可以求出初速度v₀；
（2）平拋運(yùn)動(dòng)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律求出P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離和豎直距離；
（3）研究A到C的過程，由動(dòng)能定理求出小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，由向心力公式可求得支持力大小，從而得到小球?qū)�軌道的壓力大�。?/p>

解答 解：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，小球在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在A點(diǎn)，小球速度的偏轉(zhuǎn)角為θ=60°，即：
$\frac{v_0}{v}=cos60°$
解得：v₀=2m/s
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，小球在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有：
${v_y}=vsin60°=4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}m/s$
v_y=gt
則有：$t=\frac{{\sqrt{3}}}{5}s$
所以，P點(diǎn)與A點(diǎn)的豎直高度為：$h=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{12}{20}=0.6m$
水平距離為：$x={v_0}t=2×\frac{{\sqrt{3}}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{3}m$≈0.69m
（3）小球從A到B再到C的過程，由動(dòng)能定理得：
$-mg（R+Rcos60°）=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
解得：${v_C}=\sqrt{7}m/s$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
${F_N}+mg=m\frac{v_C^2}{R}$
解得：F_N=8N
由牛頓第三定律得，小球?qū)�軌道的作用力為�?{F_N}^′={F_N}=8N$，方向豎直向上
答：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為2m/s；
（2）P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離為0.69m，豎直高度為0.6m；
（3）小球到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C時(shí)，對軌道的壓力為8N，方向豎直向上．

點(diǎn)評 本題是平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題目，除了運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式外，求速度的問題，動(dòng)能定理不失為一種好的方法．當(dāng)然也可以根據(jù)機(jī)械能守恒定律求C點(diǎn)的速度．