Question

如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g.求：

(1)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時的速度大小v₁；

(2)彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；

 (3)已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在m和m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

解析　(1)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則

mg＝①

由①式解得v₁＝②

(2)彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有

E_p＝mg(1.5R＋R)＋mv③

由②③式解得

E_p＝3mgR④

(3)不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運動規(guī)律有

4．5R＝gt²⑤

x₁＝v₁t＋R⑥

由⑤⑥式解得x₁＝4R⑦

當(dāng)魚餌的質(zhì)量為m時，設(shè)其到達(dá)管口C時速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律有

E_p＝mg(1.5R＋R)＋(m)v⑧

由④⑧式解得v₂＝2⑨

質(zhì)量為m的魚餌落到水面上時，設(shè)離OO′的水平距離為x₂，則x₂＝v₂t＋R

由⑤⑨⑩式解得x₂＝7R�、�

魚餌能夠落到水面的最大面積S

S＝(πx－πx)＝πR²(或8.25πR²)

答案　(1)　(2)3mgR　(3)πR²