Question

（2013?雅安三模）在xoy平面內(nèi)，直線OP與y軸的夾角α=45°．第一、第二象限內(nèi)存在大小相等，方向分別為豎直向下和水平向右的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=1.0×10⁵N/C；在x軸下方有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1T，如圖所示．現(xiàn)有一帶正電的粒子從直線OP上某點(diǎn)A（-L，L）處靜止釋放．設(shè)粒子的比荷

q

m

=4.0×107C/kg，粒子重力不計(jì)．求：
（1）當(dāng)L=2cm時(shí)，粒子進(jìn)入磁場時(shí)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（2）當(dāng)L=2cm時(shí)，粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度的大小和方向
（3）如果在直線OP上各點(diǎn)釋放許多個(gè)上述帶電粒子（粒子間的相互作用力不計(jì)），試證明各帶電粒子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心點(diǎn)的集合為一拋物線（提示：寫出圓心點(diǎn)坐標(biāo)x、y的函數(shù)關(guān)系）

Answer 1

分析：（1）粒子由A點(diǎn)靜止釋放后，先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第一象限后改作類平拋運(yùn)動(dòng)，而后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，先由動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入第一象限的速度，再由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可解粒子進(jìn)入磁場時(shí)與x軸交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)
（2）由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由速度的合成可解粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度的大小和方向．
（3）求解粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心的橫縱坐標(biāo)，解析圓心點(diǎn)坐標(biāo)x、y的函數(shù)關(guān)系可得圓心點(diǎn)的集合為二次函數(shù)，圖形為拋物線

解答：解：（1）帶電粒子在第三象限做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入第一象限的速度為v₁，設(shè)粒子出發(fā)點(diǎn)坐標(biāo)為（-L，L），則
    qEL=

1

2

mv₁²
得v₁=4×10⁵m/s         
粒子在第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)：y=

1

2

at²=L  
    x=v₁t       
得x=2L=0.04m             
（2）粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，則v_x=v₁=4×10⁵m/s，v_y=at=4×10⁵m/s   
設(shè)粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與x正方向的夾角為Φ，
則  tgΦ=

vy

vx

=1    
解得  Φ=45°
粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度為
 v₂=

vx2+vy2

=4

2

×10⁵ m/s   
（3）L取任意時(shí)均有：x=2L，Φ=45°            
v=

2

v1=2

qEL m

粒子在磁場中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，qvB=m

v2

R

代入數(shù)據(jù)得：R=

L

所以圓心的坐標(biāo)為：
  x=2L-

2

2

R，y=-

2

2

R
R=

L

代入并消去L，得
  x=4y²+y                       
此方程為一拋物線方程
答：（1）當(dāng)L=2cm時(shí)，粒子進(jìn)入磁場時(shí)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0.04m．
（2）當(dāng)L=2cm時(shí)，粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度的大小是4

2

×10⁵ m/s，方向與x正方向的夾角為45°．
（3）證明如上．

點(diǎn)評：帶電粒子的偏轉(zhuǎn)往往被稱為“類平拋運(yùn)動(dòng)”，利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決，實(shí)際上在沿電場方向考慮運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，可再次應(yīng)用動(dòng)能定理求解沿偏轉(zhuǎn)方向的分速度；在解決軌跡問題時(shí)，通常整理橫縱坐標(biāo)間的數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)，由關(guān)系式判斷圖象形狀．