Question

在空間中取坐標(biāo)系Oxy，在第一象限內(nèi)平行于y軸的虛線MN與y軸距離為d，從y軸到MN之間的區(qū)域充滿一個沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E，如圖所示．初速可忽略的電子經(jīng)過一個電勢差U₀未確定的電場直線加速后，從y軸上的A點(diǎn)以平行于x軸的方向射入第一象限區(qū)域，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，h）．不計電子的重力．
（1）若電子經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)為（2d，0），求加速電場的電勢差U₀．
（2）加速電場的電勢差U₀不同，電子經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)也不同．試寫出電子經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)與加速電場的電勢差U₀的關(guān)系式．（只要求寫出結(jié)果，不需寫出過程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理求出電子進(jìn)入勻強(qiáng)電場時的速度，在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動，水平方向上做勻速直線運(yùn)動，豎直方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，離開勻強(qiáng)電場后做勻速直線運(yùn)動，將離開電場后的勻速直線運(yùn)動仍然分解為水平方向和豎直方向，抓住水平位移和豎直位移關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求出加速電場的電勢差U₀．
（2）加速電場較小時，粒子的水平位移可能小于d，分兩種情況討論，粒子出電場經(jīng)過x軸和粒子不出電場經(jīng)過x軸．
不出電場時，粒子與x軸的坐標(biāo)為類平拋運(yùn)動的水平位移．出電場經(jīng)過x軸時，求出類平拋運(yùn)動出電場時豎直方向和水平方向的分速度，以及豎直方向上的位移，然后將出電場的運(yùn)動分解為水平方向和豎直方向，通過等時性求出與x軸的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)電子的電荷量為e、質(zhì)量為m，電子經(jīng)過電場加速后獲得速度v₀．則eU0=

1

2

m

v

2 0

①
電子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動，有d=v₀t②
a=

eE

m

③
y=

1

2

at2④
離開電場時，有v_y=at⑤
離開電場后勻速運(yùn)動，有x'=d=v₀t'⑥
y'=h-y=v_yt'⑦
由以上各式解得加速電場的電勢差U0=

3Ed2

4h

⑧
（2）U≤

Ed2

4h

時，x=2

U0h E

⑨
U＞

Ed2

4h

時，x=

d

2

+

2U0h

Ed

⑩
答：（1）加速電場的電勢差U0=

3Ed2

4h

．
（2）電子經(jīng)過x軸時的坐標(biāo)與加速電場的電勢差U₀的關(guān)系式為U≤

Ed2

4h

時，x=2

U0h E

，U＞

Ed2

4h

時，x=

d

2

+

2U0h

Ed

．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵理清帶電粒子的運(yùn)動過程，先在加速電場中做加速運(yùn)動，然后做類平拋運(yùn)動，最后做勻速直線運(yùn)動．在處理粒子運(yùn)動時將類平拋運(yùn)動和勻速直線運(yùn)動都分解為水平方向和豎直方向．