Question

如圖，在區(qū)域Ⅰ（0≤x≤d）和區(qū)域Ⅱ（d＜x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域Ⅰ，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域Ⅰ時(shí)，速度方向與x軸正向的夾角為30°；此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從P點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，其速度大小是a的1/3，不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力，求

（1）粒子a射入?yún)^(qū)域Ⅰ時(shí)速度的大��；

（2）當(dāng)a離開區(qū)域Ⅱ時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。

Answer 1

答案：（1）設(shè)粒子a在Ⅰ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場(chǎng)區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P^/，如圖示。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

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由幾何關(guān)系得

       　　　　　　　　　�、�

       　　　　　　　　　�、�

式中，=30°。由①②③式得

       v_a=　　　　　　　　　　�、�

  （2）設(shè)粒子a在內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為Oa，半徑為Ra2，射出點(diǎn)為Pa（圖中未畫軌跡），，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

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         由①⑤式得

               　　　　　　　　　　�、蕖�

C、P^/和O_a三點(diǎn)共線，且由式知O_a點(diǎn)必位于

                                      ⑦

的平面上。由對(duì)稱性知，P_a點(diǎn)P/點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即

                            ⑧

式中，h是C點(diǎn)的y坐標(biāo)。

設(shè)b在Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R_b1，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

              ⑨

設(shè)a到達(dá)P_a點(diǎn)時(shí)，b位于P_b點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為。如果b沒有飛出Ⅰ，則

                                       ⑩

                                       

式中，t是a在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而

                   

                  

由式得

=30°                         

由式可見，b沒有飛出Ⅰ。P_b點(diǎn)的y坐標(biāo)為