Question

如圖所示，一質(zhì)量不計的輕質(zhì)彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子A放在傾角為θ=30°的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上．盒子內(nèi)裝一個光滑小球，盒子內(nèi)腔為正方體，一直徑略小于此正方形邊長的金屬圓球B恰好能放在盒內(nèi)，已知彈簧勁度系數(shù)為k=100N/m，盒子A和金屬圓球B質(zhì)量均為1kg．，將A沿斜面向上提起，使彈簧從自然長度伸長10cm，從靜止釋放盒子A，A和B一起在斜面上做簡諧振動，g取10m/s²，求：
（1）盒子A的振幅．
（2）盒子運動最低點時，盒子A對金屬圓球B的作用力大小
（3）金屬圓球B的最大速度．

Answer 1

分析：（1）振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離．當盒子A和金屬圓球B所受合力為零時，盒子經(jīng)過平衡位置，由平衡條件和胡克定律求出此時彈簧壓縮的長度．
（2）由牛頓第二定律求出盒子A和金屬圓球B在最高點的加速度大小，根據(jù)簡諧運動的對稱性可知，盒子運動最低點時的加速度大小等于盒子A和金屬圓球B在最高點的加速度大小，再對B球研究，運用牛頓定律求出盒子A對金屬圓球B的作用力大小．
（3）當盒子運動到平衡位置時，球B的速度最大，根據(jù)機械能守恒定律求解金屬圓球B的最大速度．

解答：解：
（1）當盒子A和金屬圓球B所受合力為零時，盒子經(jīng)過平衡位置，此時，彈簧壓縮的長度為x₁=

2mgsin30°

k

代入解得 x₁=10cm．由題可知，盒子在最高點時，彈簧伸長為x₂=10cm，所以盒子A的振幅A=x₁+x₂=20cm．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得到，盒子A和金屬圓球B在最高點的加速度大小為
     a=

2mgsin30°+kx2

2m

代入解得  a=10m/s²．
根據(jù)簡諧運動的對稱性可知，盒子運動最低點時的加速度大小等于盒子A和金屬圓球B在最高點的加速度大�。�再以B球為研究對象得，
     F-mgsin30°=ma
代入解得  F=15N
（3）當盒子運動到平衡位置時，球B的速度最大，設(shè)最大速度為v_m．盒子從最高點到平衡位置的過程中，彈簧的彈性勢能不變，根據(jù)機械能守恒定律得
    2mgsin30°?A=

1

2

2m

v

2 m

代入解得 
     Vm=

2

m/s
答：
（1）盒子A的振幅為20cm．
（2）盒子運動最低點時，盒子A對金屬圓球B的作用力大小為15N；
（3）金屬圓球B的最大速度Vm=

2

m/s．

點評：對于簡諧運動的振幅，往往根據(jù)定義去分析求解．本題的技巧在于運用簡諧運動的對稱性．中等難度．