Question

9．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)．M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上．導(dǎo)軌和金屬桿的電阻可忽略．讓金屬桿ab沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，金屬桿達(dá)到最大速度v_m，在這個(gè)過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量為Q．導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度為g．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）金屬桿在加速下滑過程中，當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{3}$v_m時(shí)，求此時(shí)桿的加速度大�。�
（3）求金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過程中下降的高度．
（4）求金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過程中通過電阻的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）金屬桿先沿導(dǎo)軌向下做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值，此時(shí)金屬桿受力平衡，根據(jù)平衡條件和安培力公式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{3}$v_m時(shí)，先求出安培力大小，再由牛頓第二定律求加速度的大�。�
（3）金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過程中，其重力勢(shì)能減小，轉(zhuǎn)化為桿的動(dòng)能、摩擦生熱和電路中的焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解桿下降的高度．
（4）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式得到電量q=$\frac{△Φ}{R}$，即可求得電量．

解答 解：（1）當(dāng)ab勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬桿的受力圖如圖所示（側(cè)視圖）：圖中mg為導(dǎo)體棒的重力，F(xiàn)_安為感應(yīng)電流的安培力，F(xiàn)_N為斜面的支持力，F(xiàn)_f為滑動(dòng)摩擦力．這時(shí)導(dǎo)體棒勻速直線運(yùn)動(dòng)，其所受的合力為零，則有：
mgsinθ=F_f+F_安
F_N=mgcosθ
由滑動(dòng)摩擦力公式：F_f=μF_N，
則得F_安=mgsinθ-μmgcosθ
由安培力公式F_安=BIL，由歐姆定律I=$\frac{E}{R}$，由法拉第電磁感應(yīng)定律得E=BLv_m，可得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{L}^{2}{v}_{m}}}$
（2）當(dāng)速度達(dá)到$\frac{1}{3}$v_m時(shí)，導(dǎo)體棒受到的安培力為：F_安′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{1}{2}{v}_{m}}{R}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{1}{3}{v}_{m}}{R}$=$\frac{1}{3}$F_安=$\frac{1}{3}$（mgsinθ-μmgcosθ）
由牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ-F_安′=ma
解得：a=$\frac{2}{3}$g（sinθ-μcosθ）
（3）由能量守恒知，導(dǎo)體棒減少的重力勢(shì)能，轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、內(nèi)能和電能，電能通過電阻R又轉(zhuǎn)化為熱量．
所以滿足：mgh=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+Q+μmgscosθ，h=s•sinθ
解得金屬棒下降的高度為：h=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg（1-μcotθ）}$
（4）通過電阻的電荷量為：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$=$\frac{BLs}{R}$=$\frac{BLh}{Rsinθ}$
代入解得：q=$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mgRsinθ（1-μcotθ）}$$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{v}_{m}}}$
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）桿的加速度大小是$\frac{2}{3}$g（sinθ-μcosθ）；
（3）金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過程中下降的高度為$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg（1-μcotθ）}$；
（4）金屬桿從靜止開始至達(dá)到最大速度的過程中通過電阻的電荷量q為$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mgRsinθ（1-μcotθ）}$$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{v}_{m}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式和電量表達(dá)式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象解答．