Question

8．如圖所示，相距為L的兩條足夠長的平行金屬導軌，與水平面的夾角為θ，金屬導軌電阻不計．導軌上有質量為m、電阻為R的兩根相同的導體棒，導體棒MN上方軌道粗糙、導體棒MN所在位置及下方軌道光滑，整個空間存在垂直于導軌平面的勻強磁場，磁感應強度為B．將兩根導體棒同時釋放后，觀察到導體棒MN下滑而EF保持靜止，當MN下滑x距離后恰好達到最大速度時，EF與軌道間的摩擦力也剛好達到最大靜摩擦力．求：
（1）導體棒MN的最大速度及EF所受最大靜摩擦力各是多少；
（2）如果導體棒MN從靜止釋放沿導軌下滑x距離后恰好達到最大速度，這一過程回路中通過導體棒MN橫截面的電荷量及導體棒MN產生的電熱是多少．

Answer 1

分析 （1）MN棒下滑時EF棒靜止．MN棒做加速度減小的加速運動，當加速度為零時速度達到最大，由平衡條件求出最大速度．由平衡條件得出EF所受最大靜摩擦力．
（2）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式求電荷量．由能量守恒求熱量．

解答 解：（1）由題意可知，導體棒MN切割磁感線，產生的感應電動勢為E=BLv，回路中的電流I=$\frac{E}{2R}$
MN受到的安培力 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，故MN沿斜面做加速度減小的加速運動，當MN受到的安培力大小等于其重力沿軌道方向的分力時，速度達到最大值，此后MN做勻速運動．故導體棒MN受到的最大安培力為mgsin θ，導體棒MN的最大速度為 v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
由于當MN下滑速度最大時，EF與軌道間的摩擦力剛好達到最大靜摩擦力，由力的平衡知識可知EF與軌道之間的最大靜摩擦力為 2mgsin θ．
（2）這一過程回路中通過導體棒MN橫截面的電荷量 q=$\overline{I}△$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$△t=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BxL}{2R}$
設這一過程回路中導體棒MN產生的電熱是Q，由能量守恒定律有
 mgsin θ•x=$\frac{1}{2}$mv²+2Q
解得Q=$\frac{1}{2}$mgxsin θ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）導體棒MN的最大速度及EF所受最大靜摩擦力各是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$和2mgsin θ．
（2）通過導體棒MN橫截面的電荷量是$\frac{BxL}{2R}$，導體棒MN產生的電熱是$\frac{1}{2}$mgxsin θ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題實質是單棒運動類型，關鍵要分析MN棒的運動情況，根據平衡條件和能量守恒定律解答．