Question

9．如圖，半徑R=0.5m的光滑圓弧軌道ABC與足夠長的粗糙傾斜直軌道CD在C處平滑連接，O為圓弧軌道ABC的圓心，B點為圓弧軌道的最低點，半徑OA、OC與OB的夾角分別為53°和37°．將一個質(zhì)量m=0.5kg的物體（視為質(zhì)點）從A點左側(cè)上方高為h=0.8m處的P點水平拋出，恰從A點沿切線方向進入圓弧軌道．已知物體與軌道CD間的動摩擦因數(shù)μ=0.7，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體水平拋出時的初速度大小v₀；
（2）物體經(jīng)過B點時，對圓弧軌道的最大壓力大小F_N；
（3）物體在軌道CD上運動時，離開C點的最大距離x及在CD軌道上的運動總路程s．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運動，由自由落體運動的規(guī)律求出物體落在A時的豎直分速度，然后應用運動的合成與分解求出物體的初速度大小v₀．
（2）通過計算分析清楚物體的運動過程，由能量守恒定律求出物體在B點的速度，然后又牛頓第二定律求出物體對圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）先由機械能守恒求出物體在C點的速度，然后由動能定理即可求解離開C點的最大距離x及在CD軌道上的運動總路程s．

解答 解：（1）由平拋運動規(guī)律知：
豎直分速度：$v_y^2=2gh$${v_y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
初速度：${v_0}={v_y}tan{37^0}$=4×0.75m/s=3m/s
（2）對對物體，從P至B點的過程，由動能定理可有：$\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_0^2=mg（h+R-Rcos{53^0}）$
經(jīng)過B點時，由牛頓第二定律可有：$F_N^/-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：$F_N^/=mg+m\frac{v_B^2}{R}=34N$
（3）因μmgcos37°＜mgsin37°，
物體沿軌道CD向上作勻減速運動，速度減為零后又沿CD軌道下滑
從B到上滑至最高點的過程，由動能定理有：-mgR（1-cos37°）-（mgsin37°+μmgcos37°）x=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：$x=\frac{135}{116}≈1.2m$
在軌道CD上運動通過的路程x約為1.2m             
從B到上滑至最高點再回到B點的過程，由動能定理有：$\frac{1}{2}mv_{Bt}^2-\frac{1}{2}mv_B^2=-μmg2xcos{37^0}$$v_{Bt}^2=3{（m/s）^2}$
又因為：$mgR（1-cos{37^0}）＜\frac{1}{2}mv_{Bt}^2=0.732＜mgR（1-cos{53^0}）$
故物體不會從A點滑出軌道，但會第二次滑上CD軌道．         
從B到滑至C點速度為零的過程，由動能定理有$0-\frac{1}{2}mv_B^2=-mgR（1-cos{37^0}）-μmgscos{37^0}$
代入數(shù)據(jù)解得：$s=\frac{135}{56}≈2.4m$
答：（1）物體水平拋出時的初速度大小3m/s；
（2）物體經(jīng)過B點時，對圓弧軌道的最大壓力大小34N；
（3）物體在軌道CD上運動時，離開C點的最大距離1.2m，在CD軌道上的運動總路程2.4m．

點評 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運動情況，然后根據(jù)動能定理、平拋運動知識、能量守恒定理解題，本題用的知識點較多，難度較大．