Question

如圖所示，勁度系數(shù)為k=200N/m的輕彈簧一端固定在墻上，另一端連一質(zhì)量為M=8kg的小車a，開始時(shí)小車靜止，其左端位于O點(diǎn)，彈簧沒有發(fā)生形變，質(zhì)量為m=1kg的小物塊b靜止于小車的左側(cè)，距O點(diǎn)s=3m，小車與水平面間的摩擦不計(jì)，小物塊與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為μ=0.2，取g=10m/s²．今對小物塊施加大小為F=8N的水平恒力使之向右運(yùn)動(dòng)，并在與小車碰撞前的瞬間撤去該力，碰撞后小車做振幅為A=0.2m的簡諧運(yùn)動(dòng)，已知小車做簡諧運(yùn)動(dòng)周期公式為T=2，彈簧的彈性勢能公式為E_p=（x為彈簧的形變量），求：

（1）小物塊與小車磁撞前瞬間的速度是多大？

（2）小車做簡諧運(yùn)動(dòng)過程中彈簧最大彈性勢能是多少？小車的最大速度為多大？

（3）小物塊最終停在距O點(diǎn)多遠(yuǎn)處？當(dāng)小物塊剛停下時(shí)小車左端運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的哪一側(cè)？

Answer 1

（1）6m/s；

（2）4J，1m/s；

（3）1m，小車a在小物塊b停止時(shí)在O點(diǎn)的左側(cè)，并向右運(yùn)動(dòng)．

解析:

（1）設(shè)磁撞前瞬間，小物塊b的速度為v₁

小物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)到剛要與小車發(fā)生碰撞的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理可知

Fs-μmgs=mv₁                                              ①

解得v₁=6m/s                                                ②

（2）由于小車簡諧振動(dòng)的振幅是0.2m，所以彈簧的最大形變量為x=A=0.2m

根據(jù)彈性勢能的表達(dá)式可知最大彈性勢能E_pm=kA²               ③

解得E_pm=4J                                                  ④

根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知小車的最大動(dòng)能應(yīng)等于彈簧的最大彈性勢能

所以kA²=Mv_m²                                            ⑤

解得小車的最大速度v_m=1m/s                                   ⑥

（3）小物塊b與小車a碰撞后，小車a的速度為v_m，設(shè)此時(shí)小物塊的速度為v₁^/，設(shè)向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有

mv₁=mv^/₁+Mv_m                                                  ⑦

解得v₁^/=－2m/s                                              ⑧

接著小物塊向左勻減速運(yùn)動(dòng)一直到停止，設(shè)位移是s₁，所經(jīng)歷的時(shí)間為t₁，根據(jù)動(dòng)能定理可知

－μmgs₁=0－mv₁^/2                                          ⑨

解得s₁=1m                                                   ⑩

物塊作勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為

a==μg=2m/s²                                           ⑾

t₁=1s                                                ⑿

小車a振動(dòng)的周期T=2s                           ⒀

由于T＞t₁＞T，所以小車a在小物塊b停止時(shí)在O點(diǎn)的左側(cè)，并向右運(yùn)動(dòng)．