Question

4．設(shè)地球的半徑為R，表面重力加速度為g，則在圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的不同軌道的人造衛(wèi)星中，
（1）運(yùn)行線速度的最大值是多大；
（2）周期的最小值是多少．

Answer 1

分析 設(shè)地球的質(zhì)量為M，靜止在地面上的物體質(zhì)量為m，根據(jù)地球表面重力等于向心力列式，再根據(jù)人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由萬(wàn)有引力提供向心力列式，由以上兩式即可求得該人造地球衛(wèi)星的線速度的最大值和最小周期．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：$\frac{GMm}{{{R}_{\;}}^{2}}$=mg
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
當(dāng)r=R時(shí)，運(yùn)行線速度最大，
解得運(yùn)行線速度的最大值v_m=$\sqrt{gR}$，
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
當(dāng)r=R，人造地球衛(wèi)星周期最小，
解得周期的最小值T_m=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}}{g}}$，
答：（1）運(yùn)行線速度的最大值是$\sqrt{gR}$；
（2）周期的最小值是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力提供向心力公式和黃金代換的直接應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．