Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy所決定的平面內(nèi)，在平行于y軸的虛線MN右側(cè)、y＞0的區(qū)域存在著沿y軸負方向的勻強電場；在y＜0的某區(qū)域存在方向垂直于坐標(biāo)平面的圓形有界勻強磁場（圖中未畫出）．現(xiàn)有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子從虛線MN上的P處，以平行于x軸方向的初速度v₀射人電場，并恰好從原點O處射出，射出時速度方向與x軸成60°角，此后粒子先做勻速運動，然后進入磁場．粒子從圓形有界磁場中射出時，恰好位于√軸上Q（0，一l）處，且射出時速度方向沿x軸負方向，不計帶電粒子的重力．求：
（1）P、O兩點間的電勢差．
（2）勻強磁場的磁感應(yīng)強度．
（3）圓形有界勻強磁場的最小面積．（結(jié)果用q、m、l、v₀表示）

Answer 1

分析：（1）帶電粒子從P點射入電場做類平拋運動，將O點速度分解，根據(jù)動能定理求出P、O兩點間的電勢差U．
（2）粒子在y＜0的區(qū)域內(nèi)的勻強磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R，磁場的磁感應(yīng)強度為B．
由題意，粒子做圓周運動的圓心一定在y軸上，洛倫茲力提供向心力qvB=m

v2

R

，再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑R，代入可計算出B．
（3）當(dāng)以粒子進入磁場的位置和射出磁場的位置的連線作為磁場的直徑時，磁場面積最小，由幾何關(guān)系知道得磁場面積最小時的半徑r=Rcos30°=

3

6

l．

解答：解：粒子在點場中做類平拋運動，有v=

v0

cos60°

=2v0
設(shè)P、Q兩點間電勢差為U，由動能定理有：
qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02               
解得：U=

3mv02

2q

                    
（2）粒子在y＜0的區(qū)域內(nèi)運動的軌跡如圖所示．
設(shè)其在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R，磁場的磁感應(yīng)強度為B．
由題意，粒子做圓周運動的圓心一定在y軸上．
由牛頓第二定律qvB=m

v2

R

解得R=

mv

qB

由幾何知道得

R

sin30°

+R=l
解得R=

l

3

所以B=

6mv0

ql

（3）由題意，當(dāng)以粒子進入磁場的位置和射出磁場的位置的連線作為磁場的直徑時，磁場面積最小   
設(shè)磁場的最小面積為S．
由幾何知道得磁場面積最小時的半徑r=Rcos30°=

3

6

l
解得最小面積為S=πr2=

πl2

12

．
答：（1）P、O兩點間的電勢差為

3mv02

2q

．
（2）勻強磁場的磁感應(yīng)強度為

6mv0

ql

．
（3）圓形有界勻強磁場的最小面積為

πl2

12

．

點評：解決本題的關(guān)鍵知道粒子在勻強電場中做類平拋運動，進入磁場做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律、運動學(xué)公式以及幾何關(guān)系進行求解．