Question

7．2011年11月，“神舟八號(hào)”飛船與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器在太空實(shí)現(xiàn)了兩次交會(huì)對(duì)接，開(kāi)啟了我國(guó)空間站的新紀(jì)元．完成對(duì)接后，“神舟八號(hào)”與“天宮一號(hào)”在同一圓形軌道上運(yùn)行．地面觀測(cè)站測(cè)得它們的運(yùn)行周期為T，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g．求：
（1）“神舟八號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后距離地面的高度h；
（2）“神舟八號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后運(yùn)行速度的大小υ．

Answer 1

分析 在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，在飛船軌道上萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此分析計(jì)算即可．

解答 解：（1）在地面上，重力與萬(wàn)有引力大小相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得：GM=gR²
在軌道上萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得：$h=\root{3}{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$=$\root{3}{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$$\sqrt{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$
（2）根據(jù)周期與線速度和半徑的關(guān)系有：v=$\frac{2π（R+h）}{T}=\frac{2π\(zhòng)root{3}{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}}{T}$=$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$
答：（1）“神舟八號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后距離地面的高度h為$\sqrt{\frac{{T}^{2}}{4{π}^{2}}g{R}^{2}}-R$；
（2）“神舟八號(hào)”與“天宮一號(hào)”對(duì)接后運(yùn)行速度的大小υ為$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求高度與線速度問(wèn)題，應(yīng)用牛頓第二定律、線速度與周期的關(guān)系即可正確解題．