Question

如圖所示，ABMNCD為某個(gè)游戲場中的豎直固定軌道示意圖，水平直軌道MN與右邊半徑R=3m的3/4光滑圓弧軌道NCD底端相連接，水平直軌道左邊通過光滑曲線軌道BN與高為h=1m的平臺(tái)AB相連接，平臺(tái)AB長為1兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，兩球質(zhì)量均為0．lkg，開始時(shí)兩球緊靠在一起，若同時(shí)給a、b一個(gè)初動(dòng)能，使a向左運(yùn)動(dòng)，b向右運(yùn)動(dòng)，a的初動(dòng)能為E_ka=2.2J，b的初動(dòng)能為E_kb=3.0J，設(shè)a、b與水平軌道、與平臺(tái)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)u均為0.2．為使a、b在以后的運(yùn)動(dòng)中不脫離平臺(tái)與軌道，可適當(dāng)調(diào)節(jié)軌道MN的長度、小球a、b運(yùn)動(dòng)的初始位置．求
（1）符合要求的軌道MN的最短距離；
（2）在滿足（1）條件下，a、b兩球由于運(yùn)動(dòng)而損失的總機(jī)械能．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a球向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好通過光滑曲線軌道BN到達(dá)平臺(tái)AB的左邊時(shí)，速度為零，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢能和摩擦生熱，根據(jù)能量守恒定律列式，求出aM距離．
b向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了運(yùn)動(dòng)中不脫離軌道，最大高度在

1

4

的圓周以下，然后返回，同樣當(dāng)其通過光滑曲線軌道BN到達(dá)平臺(tái)AB的左邊速度為零時(shí)，所需軌道最短，對b球，根據(jù)能量守恒列式，求出bN，即可得到MN最短距離；
（2）初態(tài)時(shí)兩球的總動(dòng)能與末態(tài)時(shí)兩球重力勢能之差，即為損失的總機(jī)械能．

解答：解：（1）當(dāng)a球向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)到M點(diǎn)的距離x1，則當(dāng)其恰好通過光滑曲線軌道BN到達(dá)平臺(tái)AB的左邊時(shí)，速度為零，根據(jù)能量守恒定律得
   mgh+μmg（x₁+1）=E_ka
得x₁=

Eka-mgh-μmg

μmg

=

2.2-0.1×10×1-0.2×0.1×10

0.2×0.1×10

=5m
b向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)到N的距離為x₂，為了運(yùn)動(dòng)中不脫離軌道，最大高度在

1

4

的圓周以下，然后返回，
同樣當(dāng)其通過光滑曲線軌道BN到達(dá)平臺(tái)AB的左邊速度為零時(shí)，所需軌道最短．
對b球，根據(jù)能量守恒得
   μmg（2x₂+x₁+1）+mgh=E_kb
解得，x₂=

Ekb-μmgx1-μmg-mgh

2μmg

=2m
則MN=x₁+x₂=7m
（2）a、b兩球由于運(yùn)動(dòng)而損失的總機(jī)械能為△E=E_ka+E_kb-2mgh=3.2J
答：
（1）符合要求的軌道MN的最短距離是7m；
（2）在滿足（1）條件下，a、b兩球由于運(yùn)動(dòng)而損失的總機(jī)械能是3.2J．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是分析什么條件下才能保證a、b在運(yùn)動(dòng)中不脫離平臺(tái)與軌道，根據(jù)能量守恒進(jìn)行處理．