Question

5．空間站是一種在近地軌道長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行，可供多名航天員巡防，長(zhǎng)期工作和生活的載人航天器，如圖所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道I上圍繞地球運(yùn)動(dòng)，一宇宙飛船與空間站對(duì)接檢修后再與空間站分離．分離時(shí)宇宙飛船依靠自身動(dòng)力裝置在很短的距離內(nèi)加速，進(jìn)入橢圓軌道II運(yùn)行．已知橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)到地球球心的距離為3.5R，地球質(zhì)量為M，萬(wàn)有引力常量為G，則分離后飛船在橢圓軌道上至少運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間才有機(jī)會(huì)和空間站進(jìn)行第二次對(duì)接？
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• A． $8π\(zhòng)sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• B． $16π\(zhòng)sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• C． $27π\(zhòng)sqrt{\frac{R^3}{GM}}$
• D． $54π\(zhòng)sqrt{\frac{R^3}{GM}}$

Answer 1

分析 設(shè)空間站在軌道 I上運(yùn)行周期為T₁，根據(jù)萬(wàn)有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式求出空間站的周期；
求出航天飛船所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，根據(jù)開普勒第三定律列式求出航天飛船在軌道 II上運(yùn)動(dòng)的周期，要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，從而求出時(shí)間．

解答 解：設(shè)空間站在軌道 I上運(yùn)行周期為T₁，萬(wàn)有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則：
$G\frac{{M}_{空}{M}_{\;}}{{R}^{2}}={M}_{空}{（\frac{2π}{{T}_{1}}）}^{2}R$
解得：${T}_{1}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
航天飛船所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸：$L=\frac{3.5R+R}{2}=\frac{9}{4}R$
設(shè)航天飛船在軌道 II上運(yùn)動(dòng)的周期為T₂，由開普勒第三定律：$（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{2}=（\frac{L}{R}）^{3}$
解得：${T}_{2}=\frac{27}{8}{T}_{1}$
要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，故所需時(shí)間：t=27T₁
解得：$t=54π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．故ABC錯(cuò)誤，D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬(wàn)有引力提供向心力公式以及開普勒第三定律的直接應(yīng)用，知道要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，難度適中．