Question

15．如圖所示，豎直放置的半圓形絕緣軌道半徑為R，下端與光滑絕緣水平面平滑連接，整個裝置處于方向豎直向上的勻強電場E中．一質量為m、帶電量為+q的物塊（可視為質點），從水平面上的A點以初速度v₀水平向左運動，沿半圓形軌道恰好通過最高點C，場強大小為E（E小于$\frac{mg}{q}$）．
（1）試計算物塊在運動過程中克服摩擦力做的功．
（2）證明物塊離開軌道落回水平面時的水平距離與場強大小E無關，且為一常量．

Answer 1

分析 （1）物塊恰能通過圓弧最高點C，由重和電場力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出物塊通過最高點C時的速度；物塊在運動過程中，重力做負功，電場力做正功，摩擦力做負功，根據動能定理求解克服摩擦力做的功；
（2）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，由運動學公式即可證明．

解答 解：（1）物塊恰能通過圓弧最高點C，圓弧軌道此時與物塊間無彈力作用，物塊受到的重力和電場力提供向心力，則有：$mg-Eq=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$…①
解得：${v}_{c}=\sqrt{R（g-\frac{Eq}{m}）}$…②
物塊在由A運動到C的過程中，設物塊克服摩擦力做的功W_f，根據動能定理有：Eq•2R-W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ ③
解得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{5}{2}（Eq-mg）R$④
（2）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運動，設水平位移為s，則有：
s=v_ct…⑤
2R=$\frac{1}{2}（g-\frac{Eq}{m}）{t}^{2}$…⑥
由⑤⑥聯立解得：
s=2R…⑦
因此，物塊離開軌道落回水平面的水平距離與場強大小E無關，大小為2R．
答：（1）物塊在運動過程中克服摩擦力做的功是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{5}{2}（Eq-mg）R$
（3）證明見上．

點評 本題是向心力與動能定理、平拋運動等等知識的綜合，關鍵要抓住物塊恰能通過最高點C的臨界條件，求出臨界速度．