Question

11．如圖所示，兩完全相同的金屬棒垂直放在水平光滑導(dǎo)軌上，其質(zhì)量均為m=1kg，導(dǎo)軌間距d=0.5m，現(xiàn)兩棒并齊，中間夾一長度不計(jì)的輕質(zhì)壓縮彈簧，彈簧彈性勢能為E_p=16J．現(xiàn)釋放彈簧（與兩棒不拴接），兩金屬棒獲得大小相等的速度，且ab棒平行導(dǎo)軌進(jìn)入一隨時(shí)間變化的磁場，已知B=2+0.5t（單位：T），方向垂直導(dǎo)軌平面向下，導(dǎo)軌上另有兩個(gè)擋塊P、Q，cd棒與之碰撞時(shí)無能量損失，Pc=aM=16m，兩棒電阻均為R=5Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，若從釋放彈簧時(shí)開始計(jì)時(shí)（不考慮彈簧彈開兩棒的時(shí)間），在ab棒進(jìn)入磁場邊界的瞬間，加一外力F（大小和方向都可以變化），使之始終做加速度a=0.5m/s²的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求：
（1）ab棒剛進(jìn)入磁場時(shí)的外力F的大小與方向；
（2）ab棒速度為零時(shí)所受到的安培力．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)能量守恒求出ab棒釋放后獲得的速度v₀，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出ab棒運(yùn)動(dòng)到MN所用時(shí)間，即可求得ab棒剛進(jìn)入磁場時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度，再根據(jù)安培力公式和牛頓第二定律求解．
（2）ab棒進(jìn)入磁場后，又經(jīng)t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=8s速度變?yōu)榱�，而此段時(shí)間內(nèi)cd棒與PQ碰撞后反向運(yùn)動(dòng)，恰好在t₂時(shí)刻到達(dá)磁場邊界MN，由法拉第定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢，結(jié)合B=2+0.5t，求出位移，從而得到安培力．

解答 解：（1）彈簧彈開時(shí)，兩棒獲得速度大小均為v₀，則E_p=2×$\frac{1}{2}$mv₀²，
得v₀=4m/s
ab棒經(jīng)t₁=$\frac{aM}{{v}_{0}}$=$\frac{16}{4}$s=4s
進(jìn)入磁場，此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B₁=2+0.5×4T=4T，
ab棒受到的安培力 F_安=$\frac{{B}_{1}^{2}9nuw2pa^{2}{v}_{0}}{2R}$=1.6N．
依牛頓第二定律   F_安-F=ma，
得所加外力  F=F_安-ma=1.1N，方向向右．
（2）ab棒進(jìn)入磁場后，又經(jīng)t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=8s速度變?yōu)榱悖�而此段時(shí)間內(nèi)cd棒與PQ碰撞后反向運(yùn)動(dòng)，恰好在t₂時(shí)刻到達(dá)磁場邊界MN，故此時(shí)的電動(dòng)勢為
  E=B₂dv₀-$\frac{△Φ}{△t}$=B₂dv₀-$\frac{△Bdx}{△t}$
其中B₂=2+0.5×12T=8T，x為ab棒通過的位移x=$\frac{{v}_{0}{t}_{2}}{2}$=16m
代入上式解得 E=12V，I=$\frac{E}{2R}$=1.2A
故此時(shí)ab 棒受到的安培力 F=B₂dI=8×1.2×0.5N=4.8N，方向向左．
答：
（1）ab棒剛進(jìn)入磁場時(shí)的外力F的大小是1.1N，方向向右；
（2）ab棒速度為零時(shí)所受到的安培力大小是4.8N，方向向左．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿問題，關(guān)鍵要通過計(jì)算分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況，本題既有動(dòng)生電動(dòng)勢，又有感生電動(dòng)勢，總電動(dòng)勢是它們的代數(shù)和．