Question

如圖所示，“×”型光滑金屬導(dǎo)軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長(zhǎng)，∠aOc=60°．虛線(xiàn)MN與∠bOd的平分線(xiàn)垂直，O點(diǎn)到MN的距離為L(zhǎng)．MN左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一輕彈簧右端固定，其軸線(xiàn)與∠bOd的平分線(xiàn)重合，自然伸長(zhǎng)時(shí)左端恰在O點(diǎn)．一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ef平行于MN置于導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好．某時(shí)刻使導(dǎo)體棒從MN的右側(cè)

L

4

處由靜止開(kāi)始釋放，導(dǎo)體在被壓縮彈簧的作用下向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)彈簧與導(dǎo)體棒分離．導(dǎo)體棒由MN運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過(guò)程中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．導(dǎo)體棒始終與MN平行．已知導(dǎo)體棒與彈簧彼此絕緣，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌單位長(zhǎng)度的電阻均為r₀，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢(shì)能可用公式EP=

1

2

kx2計(jì)算，k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．
（1）證明：導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，感應(yīng)電流的大小保持不變；
（2）求彈簧的勁度系數(shù)k和導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v₀的大小；
（3）求導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)的位置距O點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流，判斷感應(yīng)電流是否為一定值．
（2）釋放導(dǎo)體棒后在未進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，

1

2

k(

5L

4

)2-

1

2

kL2=

1

2

mv02得出勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小，從而得知感應(yīng)電流的大小，根據(jù)牛頓第二定律2BIxtan30°-kx=0得出勁度系數(shù)k．
（3）導(dǎo)體棒過(guò)O點(diǎn)后與彈簧脫離，在停止運(yùn)動(dòng)前做變減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律BIl=ma，根據(jù)微分思想

B2l1v1

3r0

△t1+

B2l2v2

3r0

△t2+

B2l3v3

3r0

△t3+…=ma1△t1+ma2△t2+ma3△t3+…求出導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)的位置距O點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v₀，某時(shí)刻導(dǎo)體棒在回路中的長(zhǎng)度為l，則此時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv₀
此時(shí)回路的電阻R=3lr₀
回路中的感應(yīng)電流I=

E

R

=

Bv0

3r0

①
因?yàn)锽、v₀和r₀均為不變量，所以感應(yīng)電流I為不變量．
（2）釋放導(dǎo)體棒后在未進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，導(dǎo)體棒和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有

1

2

k(

5L

4

)2-

1

2

kL2=

1

2

mv02②
導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)某時(shí)刻導(dǎo)體棒距O的距離為x，
根據(jù)牛頓第二定律有2BIxtan30°-kx=0③
由①②③解得k=

B4L2

12mr02

④v0=

3 B2L2

8mr0

⑤
（3）導(dǎo)體棒過(guò)O點(diǎn)后與彈簧脫離，在停止運(yùn)動(dòng)前做減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)某時(shí)刻導(dǎo)體棒距O點(diǎn)的距離為x，導(dǎo)體棒在回路中的長(zhǎng)度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流強(qiáng)度為I，根據(jù)牛頓第二定律有BIl=ma
又因?yàn)?nbsp; I=

Bv

3r0

所以    

B2lv

3r0

=ma⑥
取一段很短的時(shí)間△t，導(dǎo)體棒在回路中的長(zhǎng)度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可認(rèn)為不變．
設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒速度的變化量大小為△v，回路所圍面積的變化量為△S．將⑥式左右兩邊同時(shí)乘以△t，可得

B2lv

3r0

△t=ma△t
則導(dǎo)體棒從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到靜止的過(guò)程可表示為

B2l1v1

3r0

△t1+

B2l2v2

3r0

△t2+

B2l3v3

3r0

△t3+…=ma1△t1+ma2△t2+ma3△t3+…
即     ∑

B2lnvn

3r0

△tn=∑man△tn
所以   

B2

3r0

∑lnvn△tn=m∑an△tn

B2

3r0

∑△Sn=m∑△vn
設(shè)導(dǎo)體棒最終靜止的位置距O點(diǎn)的距離為x₀，則

B2

3r0

x

2 0

tan30°=mv0⑦
由⑤⑦式可解得x0=

3 2 L

4

點(diǎn)評(píng)：本題為電磁感應(yīng)與力和能綜合的好題，知道在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電流為一定值．第（3）問(wèn)較難，導(dǎo)體棒與彈簧脫離后做變減速運(yùn)動(dòng)，需根據(jù)微分的思想結(jié)合牛頓第二定律去求導(dǎo)體棒最終靜止時(shí)的位置距O點(diǎn)的距離．