Question

3．如圖，長(zhǎng)為a的輕質(zhì)細(xì)線(xiàn)，一端懸掛在O點(diǎn)，另一端接一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），組成一個(gè)能繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的振子．現(xiàn)有3個(gè)這樣的振子，以相等的間隔b（b＞2a）在同一豎直面里成一直線(xiàn)懸于光滑的平臺(tái)MN上，懸點(diǎn)距臺(tái)面高均為a．今有一質(zhì)量為3m的小球以水平速度v沿臺(tái)面射向振子并與振子依次發(fā)生彈性正碰，為使每個(gè)振子碰撞后都能在豎直面內(nèi)至少做一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則入射小球的速度v不能小于多少．

Answer 1

分析 分別對(duì)3m與另外三個(gè)小球的碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律列式求得碰后的速度，再對(duì)第三個(gè)小球分析，聯(lián)立可求得3m的初速度．

解答 解：設(shè)向右為正方向；
3m和m彈性碰撞過(guò)程中，由動(dòng)量守恒定律可知：
3mv=3mv′+mv₁
對(duì)碰撞過(guò)程由機(jī)械能守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$•3mv=$\frac{1}{2}$•3mv′²+$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：v′=$\frac{3m-m}{3m+m}v$
v₁=$\frac{2×3m}{3m+m}$v=$\frac{3}{2}$v
同理可得：3m與第二個(gè)小球碰撞后
v″=$\frac{v}{{2}^{2}}$
v₂=$\frac{3}{{2}^{2}}$v
3m與第三個(gè)小球碰后，v′″=$\frac{1}{{2}^{3}}v$；
v₃=$\frac{3}{{2}^{3}}$v
故v₁＞v₂＞v₃；只需第三個(gè)小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則前兩個(gè)球一定做圓周運(yùn)動(dòng)，
由機(jī)械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv′″2=mg•2a+$\frac{1}{2}$mv₄²
最高點(diǎn)處由向心力公式可得：
mg=m$\frac{{v}_{4}^{2}}{a}$
聯(lián)立解得：v=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5ga}$
答：入射小球的速度v不能小于$\frac{8}{5}$$\sqrt{5ga}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確分析物理過(guò)程，明確各碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒；根據(jù)物理規(guī)律列式求解即可．