精英家教網(wǎng)科學(xué)家正在研究架設(shè)一條長度約為10萬公里的從地面到太空的“太空梯”,由纜繩、海面基地、太空站和升降機組成.纜繩用質(zhì)量輕、強度大、韌度高的“碳納米管”制成,纜繩一端固定在位于赤道某處的海面基地上,另一端固定在位于太空的巨大太空戰(zhàn)上.除升降機外,整個裝置相對于地面保持靜止,且繃直的纜繩始終垂直于海平面指向地心.升降機上裝有兩套履帶裝置,從兩側(cè)緊扣纜繩,這樣升降機就可以沿纜繩上下運動,或者在摩擦力作用下牢牢固定在纜繩上任意位置,如圖所示.
設(shè)想在太空中距離地面某一高度,升降機與纜繩之間的相互作用力恰好為零,且相對于纜繩保持靜止?fàn)顟B(tài),求此時升降機距離地面的高度.已知地球半徑R,地球表面重力加速度g,地球自轉(zhuǎn)角速度ω.
分析:纜繩跟地球具有相同的角速度,通過萬有引力提供向心力來求解,從而知道管道的長度.
解答:解:設(shè)地球質(zhì)量為M,萬有引力常量為G,則質(zhì)量為m0的物體在地面受到的重力與萬有引力大小近似相等   
m0g=G
Mm0
R2

設(shè)在距地面h高處,質(zhì)量為m的升降機與纜繩之間相互作用力恰好為零,此時由萬有引力提供升降機繞地球做勻速圓周運動的向心力,
由牛頓第二定律:
G
Mm
(R+h)2
=mω2(R+h)

由①②得:h=(
gR2
ω2
)
1
3
-R

答:此時升降機距離地面的高度(
gR2
ω 2
)
1
3
-R
點評:解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和和萬有引力等于重力.
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