3.如圖甲所示,水平傳送帶以 5.0m/s 恒定的速率運轉,兩皮帶輪之間的距離 l=6m,皮帶輪的半徑大小可忽略不計.沿水平傳送帶的上表面建立 xOy 坐標系,坐標 原點 O 在傳送帶的最左端.半徑為R的光滑圓軌道 ABC 的最低點 A 點與 C 點原來相連,位于豎直平面內(nèi)(如圖乙所示),現(xiàn)把它從最低點處切開,并使 C 端沿 y 軸負方向錯開少 許,把它置于水平傳送帶的最右端,A 點位于 x 軸上且與傳送帶的最右端之間的距離可忽 略不計,軌道的 A、C 兩端均位于最低點,C 端與一水平直軌道平滑連接. 由于 A、C 兩點間沿y軸方向錯開的距離很小,可把 ABC 仍看作位于豎直平面內(nèi)的圓軌道.將一質(zhì)量m=1kg 的小物塊 P(可視為質(zhì)點)沿x軸輕放在傳送帶上某處,小物塊隨傳送帶運動到 A 點進入光滑圓軌道,恰好能夠通過圓軌道的最高點B,并沿豎直圓軌道 ABC 做完整的圓周運動后由 C 點經(jīng)水平直軌道滑出.已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù) μ=0.5,圓軌道 的半徑 R=0.5m,取重力加速度 g=10m/s2.求:
(1)物塊通過圓軌道最低點 A 時對軌道壓力的大小;
(2)輕放小物塊位置的 x 坐標應滿足什么條件,才能完成上述運動;
(3)傳送帶由電動機帶動,其與輪子間無相對滑動,不計輪軸處的摩擦.若將小物塊輕放在傳送帶上O點,求將小物塊從 O 點運送至 A 點過程中電動機多做的功.

分析 (1)物塊恰好通過圓軌道最高點B時,由重力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律求出B點速度,物塊由A點運動至B點的過程,根據(jù)機械能守恒定律求出A點速度,在A點根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解;
(2)根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上的加速度,根據(jù)(1)可知物體到達A點時的速度與傳送帶速度相等,根據(jù)運動學基本公式求出物體在傳送帶上加速的位移,從而求出輕放小物塊的位置坐標需滿足的條件;
(3)根據(jù)運動學基本公式求出物塊相對于傳送帶運動的位移,根據(jù)結合功能關系求解即可.

解答 解:(1)設物塊恰好通過圓軌道最高點B時的速率為vB,根據(jù)牛頓第二定律有:
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得:vB=$\sqrt{5}$m/s
設物塊通過圓軌道最低點A的速率為vA,對于物塊由A點運動至B點的過程,根據(jù)機械能守恒定律有:
$\frac{1}{2}$mvA2=$\frac{1}{2}$m vB2+2mgR
代入數(shù)據(jù)解得:vA=5.0m/s
設物塊通過圓軌道最低點A時,軌道對物塊的支持力為FN,根據(jù)牛頓第二定律有:
FN-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$;
代入數(shù)據(jù)解得:FN=60N
據(jù)牛頓第三定律,物塊通過圓軌道最低點A對軌道的壓力為:F′N=FN=60N
(2)物塊在傳送帶上的加速度為:a=μg=0.5×10=5.0m/s2
根據(jù)(1)可知物塊運動至A點的速度滿足vA=5.0m/s,
可使其恰好通過圓軌道最高點B.傳送帶的速率為:v0=5.0m/s,
物塊在傳送帶上加速運動的位移為:x0=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2a}$=$\frac{25}{2×5}$=2.5m,
故輕放小物塊的位置坐標需滿足:x≤l-x0=3.5m
(3)設為將小物塊從O點運送到A點傳送帶電動機做的功為W,小物塊加速運動時間為:t=$\frac{{v}_{A}}{a}$=$\frac{5}{5}$=1.0s,
小物塊加速運動的位移:x=$\frac{1}{2}$at2=$\frac{1}{2}×5×1$=2.5m
根據(jù)功能關系有:W=$\frac{1}{2}$mvA2+μmg(v0t-x)
代入數(shù)據(jù)解得:W=25J.
答:(1)物塊通過圓軌道最低點 A 時對軌道壓力的大小為60N;
(2)輕放小物塊位置的 x 坐標應滿足x≤l-x0=3.5m,才能完成上述運動;
(3)將小物塊從 O 點運送至 A 點過程中電動機多做的功為25J.

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、機械能守恒定律、運動學基本公式以及功能關系得直接應用,知道物塊恰好通過圓軌道最高點B時,由重力提供向心力是解題的突破口,同時還要注意分析功能關系,明確多做功的計算方法.

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