Question

如圖所示，在xy平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，磁場強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，在x=3R處有一個(gè)與x軸垂直的熒光屏PQ，t=0時(shí)刻，在紙面內(nèi)從坐標(biāo)原點(diǎn)O以相等速率向磁場內(nèi)沿不同的方向發(fā)射粒子，粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q，其中沿x正方向發(fā)射的粒子從圓形磁場區(qū)域射出時(shí)與x軸正方向夾角為60°，粒子的重力不計(jì)．
（1）求粒子的速度v₀．
（2）求在磁場中運(yùn)動(dòng)最長時(shí)間粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及此粒子打在熒光屏上的坐標(biāo)（可用反三角函數(shù)表示）
（3）若虛線的圓形磁場邊界是一個(gè)固定的絕緣的閉合圓環(huán)，且粒子與圓環(huán)碰撞為彈性碰撞無電荷量轉(zhuǎn)移，求沿x軸正方向發(fā)射的粒子經(jīng)過多長時(shí)間回到坐標(biāo)原點(diǎn)O及粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圍成的面積S．

Answer 1

分析：（1）作出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子的初速度大�。�
（2）當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡弦長最長的時(shí)候，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也最長，作出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓心角的大小，結(jié)合周期公式求出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．射出磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，出磁場時(shí)與x軸的夾角與進(jìn)磁場時(shí)與x軸的夾角相等，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子打在熒光屏上的坐標(biāo)．
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，結(jié)合圓心角，通過周期公式求出粒子在磁場中運(yùn)行的時(shí)間．根據(jù)幾何關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)軌跡圍成的面積．

解答：解：（1）沿x軸正方向發(fā)射的粒子其軌跡如圖，
則：r=Rcot

θ

2

=

3

R，
又粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)：qv0B=m

v02

r

聯(lián)立解得：v0=

3 BqR

m

．
（2）因?yàn)閞＞R，所以當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡弦長最長的時(shí)候，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也最長，軌跡如圖，設(shè)此時(shí)粒子的初始速度方向與x軸夾角為α，則：
sinα=

R

r

，又T=

2πr

v0

=

2πm

qB

，
所以tmax=

2α

2π

T=

2marcsin 3 3

Bq

粒子穿出磁場后做勻速運(yùn)動(dòng)，所以

.

y

.

=Rtanα=

2

2

R
所以粒子打在熒光屏的坐標(biāo)為（3R，-

2

2

R）
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，

所以時(shí)間為t=3?

θ

2π

T=

πm

qB

．
所以軌跡圍成的面積為
S=3(rR-

θ

2π

π×r2)=(3

3

-

3π

2

)R2．
答：（1）粒子的速度v0=

3 BqR

m

．
（2）在磁場中運(yùn)動(dòng)最長時(shí)間粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

2marcsin 3 3

Bq

，粒子打在熒光屏上的坐標(biāo)為（3R，-

2

2

R）
（3）沿x軸正方向發(fā)射的粒子經(jīng)過

πm

qB

回到坐標(biāo)原點(diǎn)O，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圍成的面積為(3

3

-

3π

2

)R2．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)帶電粒子在磁場中的半徑公式、周期公式，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．