Question

15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限中有一半徑為a的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，邊界與兩個(gè)坐標(biāo)軸相切，A、B是兩個(gè)閥門（控制粒子的進(jìn)出），通常情況下處于關(guān)閉狀態(tài)，其連線與X軸平行，B恰好位于Y軸上，坐標(biāo)為（0，$a+\frac{\sqrt{2}}{2}a$）兩閥門間距為d，有一粒子源發(fā)射具有沿AB方向各種速度的同一種帶正電粒子（粒子所受重力不計(jì)），某時(shí)刻閥門A開(kāi)啟，$\frac{t}{2}$后A關(guān)閉，又過(guò)t后B開(kāi)啟，再過(guò)$\frac{t}{2}$后B也關(guān)閉．由兩閥門通過(guò)的粒子垂直進(jìn)入第一象限的圓形磁場(chǎng)中，其中速度最大的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后，恰好能垂直通過(guò)X軸．不考慮粒子間的相互作用，求，
（1）穿過(guò)A和B進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子的最大速度和最小速度
（2）最后離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子通過(guò)Y軸的坐標(biāo)
（3）從第一個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)到最后一個(gè)粒子離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的總時(shí)間．

Answer 1

分析 穿過(guò)A和B進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子在AB間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間最短時(shí)速度最大，時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)速度最小；根據(jù)幾何關(guān)系求出速度最大的和速度最小的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑，利用幾何關(guān)系速度最大的偏轉(zhuǎn)四分之一圓周垂直x軸射出，速度最小的偏轉(zhuǎn)二分之一圈垂直y軸射出：第三問(wèn)以B打開(kāi)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，最快的正好B，最慢的還需要$\frac{t}{2}$到達(dá)B，計(jì)算出最快的到達(dá)磁場(chǎng)時(shí)間，最慢的從打開(kāi)B到離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間，兩者之差即是所求時(shí)間．

解答 解：（1）A關(guān)閉時(shí)進(jìn)入，B打開(kāi)時(shí)通過(guò)的粒子具有最大速度，${v}_{1}^{\;}=\frac02y2uan{t}$
A打開(kāi)時(shí)通過(guò)，B關(guān)閉時(shí)通過(guò)的粒子具有最小速度${v}_{2}^{\;}=\fraciivfppm{2t}$
（2）速度最大的粒子恰好垂直通過(guò)x軸，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾何半徑為：${R}_{1}^{\;}=\sqrt{2}a$
根據(jù)：$Bqv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
可得：最小速度的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為：${R}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$
由幾何關(guān)系可得，粒子恰好垂直y軸射出，其坐標(biāo)為（0，$a-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
（3）設(shè)B打開(kāi)時(shí)為零時(shí)刻，最快粒子到達(dá)磁場(chǎng)需要時(shí)間：${t}_{1}^{\;}=\frac{a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}mfcmyjht$
最慢粒子由B到達(dá)磁場(chǎng)所用時(shí)間：${t}_{2}^{\;}=\frac{a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}o2lisse2t$
最慢粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}^{\;}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}πa}2nz5s2l2t$
第一個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)到最后一個(gè)粒子離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的總時(shí)間
$△t=\frac{t}{2}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}-{t}_{1}^{\;}$
得：$△t=\frac{t}{2}+\frac{a}yioaocc（1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}π）t$
答：（1）穿過(guò)A和B粒子的最大速度$\fracf5alkal{t}$，最小速度$\fraca7x7ayx{2t}$
（2）最后通過(guò)磁場(chǎng)的粒子通過(guò)Y軸的坐標(biāo)（0，$a-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
（3）第一個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)到最后一個(gè)粒子離開(kāi)磁場(chǎng)經(jīng)歷的總時(shí)間$\frac{t}{2}+\frac{a}5ttge2o（1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}π）t$

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，分析粒子的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，第三問(wèn)比較難，關(guān)鍵是要理清運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，弄清物理情景．