Question

如圖，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ角固定，軌距為d．空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．P、M間接有阻值為3R的電阻．Q、N間接有阻值為6R的電阻，質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，其有效電阻為R．現(xiàn)從靜止釋放ab，當(dāng)它沿軌道下滑距離S時(shí)，達(dá)到最大速度．若軌道足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（2）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為

1

2

gsinθ 時(shí)，金屬桿ab消耗的電功率；
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過(guò)程中，克服安培力所做的功．

Answer 1

分析：（1）從靜止釋放ab，ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，相當(dāng)于電源，兩個(gè)定值電阻3R與6R并聯(lián)，可求得總電阻的表達(dá)式．當(dāng)ab棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件和安培力公式，求解金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（2）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為

1

2

gsinθ時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求得此時(shí)金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的速度，得到感應(yīng)電流，即可求得金屬桿ab消耗的電功率；
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過(guò)程中，重力做正功，安培力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求得導(dǎo)體棒ab克服安培力做功．

解答：解：（1）電路中總電阻為R_總=R_并+R=

3R?6R

3R+6R

+R=3R；
   I=

Bdv

R總

=

Bdv

3R

當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)，金屬棒受力平衡，則有 mgsinθ=BId=

B2d2v

3R

解得，最大速度為v=

3Rmgsinθ

B2d2

（2）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為

1

2

gsinθ 時(shí)，通過(guò)ab的電流為 I′=

Bdv′

R總

=

Bdv′

3R

根據(jù)牛頓第二定律F_合=ma，得
 mgsinθ-BI′d=ma，
得到  mgsinθ-

B2d2v′

3R

=

1

2

mgsinθ
解得，v′=

3Rmgsinθ

2B2d2

金屬桿ab消耗的電功率P=I′²R=

m2g2sin2θR

4B2d2

（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理
   W_G-W_克安=△E_k
mgSsinθ-W_克安=

1

2

m

9m2g2R2sin2θ

B4d4

解得  W_克安=mgSsinθ-

9m3g2R2sin2θ

2B4d4

答：（1）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的最大速度是

3Rmgsinθ

B2d2

；
（2）金屬桿ab運(yùn)動(dòng)的加速度為

1

2

gsinθ 時(shí)，金屬桿ab消耗的電功率是

m2g2sin2θR

4B2d2

；
（3）金屬桿ab從靜止到具有最大速度的過(guò)程中，克服安培力所做的功為mgSsinθ-

9m3g2R2sin2θ

2B4d4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)中收尾速度問(wèn)題，分別從力和能量?jī)蓚�(gè)角度進(jìn)行研究．其中安培力的分析和計(jì)算是解題的關(guān)鍵步驟．