Question

如圖所示，質(zhì)量分別為2m和3m的兩個(gè)小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸．AO、BO的長(zhǎng)分別為2L和L．開(kāi)始時(shí)直角尺的AO部分處于水平位置而B(niǎo)在O的正下方．讓該系統(tǒng)由靜止開(kāi)始自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求：
（1）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v；
（2）B球能上升的最大高度h；
（3）開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度v_m．

Answer 1

分析：（1）AB兩個(gè)球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式可以求得AB速度之間的關(guān)系，同時(shí)由于A(yíng)B是同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的，它們的角速度的大小相同．聯(lián)立即可求解v．
（2）B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，再根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解最大高度h．
（3）設(shè)OA桿從開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí)，B球的速度達(dá)到最大．根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒和AB速度關(guān)系，得到B的速度與θ的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解B速度的最大值．

解答：解：（1）以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，由于轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．
A、B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度始終相同，由v=ωr，有v=2v_B
系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，得：2mg?2L=3mg?L+

1

2

?2mv2+

1

2

?3m?

v

2 B

 解得 v=

8gL 11

（2）B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，設(shè)該位置位于OA桿豎直位置向左偏了α角．如圖所示（2）．則有
2mg?2Lcosα=3mgL（1+sinα）
此式可化簡(jiǎn)為 4cosα-3sinα=3
解得 sin（53°-α）=sin37°，α=16°
所以B球能上升的最大高度h=L+Lsin16°=L+Lsin（53°-37°）
解得h=1.28L
（3）B球速度達(dá)到最大v_m時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能最大．設(shè)OA桿從開(kāi)始轉(zhuǎn)過(guò)θ角時(shí)，B球的速度達(dá)到最大．
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律得：2mg?2Lcosθ-3mg?L（1-sinθ）=

1

2

?2m

v

2 A

+

1

2

?3m

v

2 B

又v_A=2v_B，
則得

v

2 B

=

2

11

gL(4cosθ+3sinθ)-

6

11

gL
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得：4cosθ+3sinθ的最大值為5，則得B球速度的最大值v_m=

4 11 gL

答：
（1）當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，A小球的速度大小v是

8gL 11

；
（2）B球能上升的最大高度h是1.28L；
（3）開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度v_m是

4 11 gL

．

點(diǎn)評(píng)：本題中的AB的位置關(guān)系并不是在一條直線(xiàn)上，所以在球AB的勢(shì)能的變化時(shí)要注意它們之間的關(guān)系，在解題的過(guò)程中還要用到數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的知識(shí)，要求學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功要好，本題由一定的難度．