Question

20．如圖所示．A為靜止于地球赤道上的物體，B為繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑為r的衛(wèi)星，C為繞地球沿橢圓軌道運動的衛(wèi)星，長軸為a，P為B、C兩衛(wèi)星軌道的交點．已知A、B、C繞地心運動的周期相同且都為T，則下列說正確的是（　�。�

• A． 物體A的向心加速度小于衛(wèi)星B的向心加速度
• B． 若已知引力常量G，則地球的質量為$\frac{π^2a^2}{2GT}$
• C． 衛(wèi)星B經過P點時的加速度等于衛(wèi)星C經過P點時的加速度
• D． 若已知引力常量G，則可求出地球表面附近的重力加速度

Answer 1

分析 衛(wèi)星的向心加速度、加速度根據牛頓第二定律和萬有引力定律結合分析．對于B，由萬有引力等于向心力列式，對于B、C，根據開普勒第三定律列式，可求得地球的質量．在地球表面，由萬有引力等于重力列式，可求地球表面附近的重力加速度．

解答 解：A、物體A靜止于地球赤道上隨地球一起自轉，衛(wèi)星C為繞地球做圓周運動，它們繞地心運動的周期相同，根據向心加速度的公式a=（$\frac{2π}{T}$）²r，知物體A的向心加速度小于衛(wèi)星B的向心加速度．故A正確；
B、對于衛(wèi)星B，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：G$\frac{M{m}_{B}}{{r}^{2}}$=m_B$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r ①
對于B、C，根據開普勒第三定律$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k得：T相同，則有 a=r ②
由①②解得地球的質量為 M=$\frac{4{π}^{2}{a}^{3}}{G{T}^{2}}$．故B錯誤．
C、對于衛(wèi)星B、C中任一衛(wèi)星，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，同一點r相同，則衛(wèi)星B經過P點．故D錯誤時的加速度等于衛(wèi)星C經過P點時的加速度．故C正確．
D、對于A，由G$\frac{M{m}_{A}}{{R}^{2}}$=m_Ag得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，R是地球半徑，由上知地球的質量M可以求出，但地球的半徑R求不出，所以地球表面附近的重力加速度求不出．故D錯誤．
故選：AC

點評 本題關鍵根據萬有引力等于向心力，以及萬有引力等于重力列式．對于加速度，要根據題意靈活地選擇恰當的表達式形式分析，抓住三者周期相同這個條件求解．