Question

4．如圖所示，是雙人花樣滑冰運(yùn)動中男運(yùn)動員拉著女運(yùn)動員做圓錐擺運(yùn)動的精彩場面．若女運(yùn)動員伸直的身體與豎直方向的夾角為θ，質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動過程中女運(yùn)動員的重心做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r，忽略女運(yùn)動員受到的摩擦力，重力加速度為g，求：
（1）當(dāng)女運(yùn)動員對冰面的壓力為其重力的$\frac{1}{2}$時(shí)，男運(yùn)動員的拉力大小及兩人轉(zhuǎn)動的周期；
（2）當(dāng)女運(yùn)動員剛要離開冰面時(shí)，男運(yùn)動員的拉力大小及兩人轉(zhuǎn)動的周期．

Answer 1

分析 以女運(yùn)動員為研究對象，分析受力情況，由重力和男運(yùn)動員的拉力的合力提供女運(yùn)動員的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解拉力和角速度．

解答 解：（1）對女運(yùn)動員受力分析，沿半徑方向有F₁sinθ=m${{ω}_{1}}^{2}$r
豎直方向有F_N+F₁cosθ=mg
其中F_N=$\frac{1}{2}$mg
聯(lián)立①②③解得ω₁=$\sqrt{\frac{gtanθ}{2r}}$
F₁=$\frac{mg}{2cosθ}$．又由T₁=$\frac{2π}{{ω}_{1}}$得T₁=2π$\sqrt{\frac{2r}{gtanθ}}$
（2）當(dāng)女運(yùn)動員剛要離開冰面時(shí)，男運(yùn)動員對女運(yùn)動員的拉力F₂和女運(yùn)動員的重力mg的合力為女運(yùn)動員提供向心力F，由可得F₂=$\frac{mg}{cosθ}$
由牛頓第二定律得mgtanθ=m${{ω}_{2}}^{2}$r
解得ω₂=$\sqrt{\frac{gtanθ}{r}}$故T₂=$\frac{2π}{{ω}_{2}}$=2π$\sqrt{\frac{r}{gtanθ}}$
答：（1）當(dāng)女運(yùn)動員對冰面的壓力為其重力的$\frac{1}{2}$時(shí)，男運(yùn)動員的拉力大小為$\frac{mg}{2cosθ}$，兩人轉(zhuǎn)動的周期為2π$\sqrt{\frac{2r}{gtanθ}}$；
（2）當(dāng)女運(yùn)動員剛要離開冰面時(shí)，男運(yùn)動員的拉力大小為$\frac{mg}{cosθ}$，兩人轉(zhuǎn)動的周期為2π$\sqrt{\frac{r}{gtanθ}}$．

點(diǎn)評 本題是實(shí)際問題，要建立物理模型，對實(shí)際問題進(jìn)行簡化．常規(guī)題，難度不大．