Question

（2012?延吉市模擬）經(jīng)過天文望遠(yuǎn)鏡的長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中的物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)．雙星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩個(gè)星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者間距L，它們正圍繞著兩者連線的中點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的周期T；
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T’，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化模型，我們我們假定在以兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ的暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，并假設(shè)暗物質(zhì)與星體間的相互作用同樣遵守萬有引力定律．試根據(jù)這一模型計(jì)算雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T’．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，再由牛頓第二定律求解周期T′．

解答：解：（1）以雙星系統(tǒng)中任一星球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得

G M2 L2 =Mr1ω2=Mr2ω2 r1=r2= L 2 T=2π L3 2GM

（2）設(shè)暗物質(zhì)的總質(zhì)量為m，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，
由牛頓第二定律得

m= π 6 L3ρ G M2 L2 +G Mm ( L 2 )2 =M L 2 ( 2π T′ )2

解得：

T′=πL 6L 3GM+2πρGL3

答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T=

T=2π L3 2GM

；
    （2）根據(jù)暗物質(zhì)模型計(jì)算出該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T′=

πL 6L 3GM+2πρGL3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是雙星問題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，運(yùn)用牛頓第二定律采用隔離法進(jìn)行研究．