Question

兩根長直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點，B點為軌道最低點，O為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內．質量均為m的兩小環(huán)P、Q用長為R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將MN兩環(huán)從距離地面2R處由靜止釋放，整個過程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：
（1）當P環(huán)運動到B點時，系統(tǒng)減少的重力勢能△E_P；
（2）當P環(huán)運動到B點時的速度v；
（3）在運動過程中，P環(huán)能達到的最大速度v_m；
（4）若將桿換成長，P環(huán)仍從原處由靜止釋放，經過半圓型底部再次上升后，P環(huán)能達到的最大高度H．

Answer 1

【答案】分析：（1）輕桿下滑過程，系統(tǒng)的機械能守恒，確定出兩環(huán)下降的高度，即可由求得△E_P；
（2）P、Q都進入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，兩環(huán)速度大小一定相等，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒列式求解最大速度．
（3）當系統(tǒng)質心下降到最低處時，系統(tǒng)達到的速度最大，此時MN離O點豎直高度為，再由機械能守恒求解．
（4）由于桿長超過了半圓直徑，故A環(huán)一直在下方，速度為零時，結合幾何關系并根據(jù)機械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．
解答：解：（1）當P環(huán)運動到B點時，系統(tǒng)減少的重力勢能
（2）P、Q都進入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等
整體的機械能守恒，則有：△E_P=△E_K
則得 
得到
（3）當系統(tǒng)質心下降到最低處時，系統(tǒng)達到的速度最大，此時MN離O點豎直高度為
則有 
得到
（4）由于桿超過了半圓直徑，所以兩環(huán)運動如圖．

M再次上升后，設位置比原來高h，如圖所示．
由機械能守恒：-mgh+mg（2R-2R-h）=0 
解得，
P環(huán)能達到的最大高度
答：
（1）當P環(huán)運動到B點時，系統(tǒng)減少的重力勢能△E_P是（3+）mgR．
（2）當P環(huán)運動到B點時的速度v是．
（3）在運動過程中，P環(huán)能達到的最大速度v_m是．
（4）若將桿換成長，P環(huán)仍從原處由靜止釋放，經過半圓型底部再次上升后，P環(huán)能達到的最大高度H是（+1）R．
點評：本題關鍵是根據(jù)幾何關系多次得到環(huán)的具體位置，然后根據(jù)機械能守恒定律列方程求解即可．