Question

如圖所示，x軸的上方存在方向與x軸成45°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，x軸的下方存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T．有一個(gè)質(zhì)量m=10^-11kg，電荷量q=10^-7C的帶正電粒子，該粒子的初速度v₀=2×10³m/s，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿與x軸成45°角的方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)和電場(chǎng)的作用，粒子從O點(diǎn)出發(fā)后第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)剛好又回到O點(diǎn)處，設(shè)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的區(qū)域足夠?qū)�，不�?jì)粒子重力，求：
①帶電粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)是多少？
②電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小及帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力作用下做一段圓弧后第一次經(jīng)過(guò)x軸，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式求出半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系求出坐標(biāo)；
（2）然后進(jìn)入電場(chǎng)中，恰好做勻減速運(yùn)動(dòng)直到速度為零后又返回，以相同速率再次進(jìn)入磁場(chǎng)仍在洛倫茲力作用下又做一段圓弧后，再次進(jìn)入電場(chǎng)正好做類平拋運(yùn)動(dòng)．粒子在磁場(chǎng)中兩次運(yùn)動(dòng)剛好完成一個(gè)周期，由粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂直電場(chǎng)方向位移與速度關(guān)系，沿電場(chǎng)方向位移與時(shí)間關(guān)系，結(jié)合牛頓第二定律求出E，三個(gè)過(guò)程的總時(shí)間即為總時(shí)間．

解答：解：
①粒子在磁場(chǎng)中受磁場(chǎng)力的作用沿圓弧運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，qvB=m

v2

R

，
半徑R=

mv

Bq

=0.4m，
根據(jù)圓的對(duì)稱性可得粒子在磁場(chǎng)中第一次偏轉(zhuǎn)所對(duì)的圓心角為90°，
則第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)為x1=

2

R=0.4

2

m≈0.57m
②第一次進(jìn)入電場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)方向與電場(chǎng)方向相反，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后又反向加速返回磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中沿圓周運(yùn)動(dòng)，再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度方向剛好垂直電場(chǎng)方向，在電場(chǎng)力的作用下偏轉(zhuǎn)，打在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

由幾何關(guān)系可得，第二次進(jìn)入電場(chǎng)中的位移為2

2

R，
在垂直電場(chǎng)方向的位移s₁=vt₁，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=

s1

v

=

2R

v

=4×10-4s
在沿電場(chǎng)方向上的位移s2=

1

2

a

t

2 1

，
又因s₂=2R
得a=

2s2

t 2 1

=1×107m/s2
根據(jù)牛頓第二定律a=

Eq

m

所以電場(chǎng)強(qiáng)度E=

ma

q

=1×103V/m
粒子從第一次進(jìn)入電場(chǎng)到再返回磁場(chǎng)的時(shí)間t2=

2v

a

=4×10-4s，
粒子在磁場(chǎng)中兩段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之和剛好是做一個(gè)完整圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

Bq

=4π×10-4s
所以粒子從出發(fā)到再回到原點(diǎn)的時(shí)間為t=t1+t2+T≈2.1×10-3s
答：①帶電粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)是0.57m；
②電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為1×10³V/m，帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間為2.1×10^-3s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力．