Question

如圖，半徑為R，光滑的

1

4

圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CN相接．水平軌道的CD段光滑、DN段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直面上，另一端與質(zhì)量為2m的小物塊b剛好在D點(diǎn)接觸但不連接，彈簧處于自然長度．質(zhì)量為m的小物塊a從圓弧軌道頂端M點(diǎn)由靜止釋放并下滑，后與物塊b碰撞后一起向左壓縮彈簧（兩物塊不粘連）．若

.

DN

=l，物塊a、b與軌道DN的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.1和μ₂=0.2，重力加速度為g．求：
（1）小物塊a第一次經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)，軌道對a支持力的大�。�
（2）小物塊a與物塊b碰撞后瞬間的共同速度大�。�
（3）若a、b能且只能發(fā)生一次碰撞，試討論l與R的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）物塊a由M到N過程中，軌道的支持力不做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出物塊a第一次經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的速度．在N點(diǎn)，對物塊a由重力和軌道的支持力的合力提供其向心力，根據(jù)牛頓第二、第三定律求解物塊a第一次經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（2）物塊a從N滑至D過程中，由動(dòng)能定理可求出與b碰撞前的速度大小．a(chǎn)、b碰撞過程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰后的共同速度．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒定律求出a、b一起壓縮彈簧時(shí)的速度，根據(jù)物塊a到達(dá)D點(diǎn)的速度不為零，求出l的范圍，以及知道a、b只發(fā)生一次碰撞，物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速滑至P點(diǎn)也恰好停止．結(jié)合動(dòng)能定理求出l的范圍．

解答：解：（1）物塊a由M到N過程中，由機(jī)械能守恒有：mgr=

1

2

mv

2 1

   ①
由牛頓第二定律有：F-mg=

m v 2 1

R

   ②
聯(lián)立①②解得：軌道對a支持力 F=3mg
（2）物塊a從N滑至D過程中，由動(dòng)能定理有：-μ1mgl=

1

2

m

v

2 D1

-

1

2

m

v

2 1

   ③
物塊a、b在D點(diǎn)碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒有：mv_D1=3mv_D2 ④
解得兩物塊在D點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)的速度 vD2=

2g(R-0.1l)

3

（3）a、b一起壓縮彈簧后又返回D點(diǎn)時(shí)速度大小v_D3=

2g(R-0.1l)

3

  ⑤
由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經(jīng)過D點(diǎn)后，a、b兩物塊分離，同時(shí)也與彈簧分離．討論：①假設(shè)a在D點(diǎn)時(shí)的速度v_D1=0，即l=10R，要使a、b能夠發(fā)生碰撞，則l＜10R ②假設(shè)物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速滑至P點(diǎn)也恰好停止，設(shè)

.

PN

=x，則

.

DP

=l-x，
根據(jù)能量守恒，對a物塊 μ₁mg（l+x）=

1

2

m

v

2 D3

  ⑥
對b物塊μ₂2mg（l-x）=

1

2

2mv

2 D3

  ⑦
由以上兩式解得：x=

1

3

l，⑧
將x=

1

3

l代人 μ₁mg（l+x）=

1

2

m

v

2 D3

解得：l=

10

13

R  ⑨
要使a、b只發(fā)生一次碰撞，則l≥

10

13

R  ⑩
綜上所述，當(dāng)10R＞l≥

10

13

R時(shí)，a、b能且只能發(fā)生一次碰撞．
答：
（1）小物塊a第一次經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)，軌道對a支持力的大小為3mg．
（2）小物塊a與物塊b碰撞后瞬間的共同速度大小為

2g(R-0.1l)

3

．
（3）若a、b能且只能發(fā)生一次碰撞，討論l與R的關(guān)系見上．

點(diǎn)評：本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理，對學(xué)生能力的要求較高．要注意本題中含有非彈性碰撞，彈簧彈性最大值不等于碰撞前物塊a的動(dòng)能．