Question

【題目】如圖所示，將小物塊（可視為質點）平放在水平桌面的一張薄紙上，對紙施加平行于桌邊的恒定水平拉力將其從物塊底下抽出。已知物塊的質量為M，紙與桌面、物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)均為μ1，紙與物塊間的動摩擦因數(shù)為μ2，重力加速度為g。

（1）若薄紙的質量為m，則從開始抽紙到紙被抽離物塊底部的過程中，

①求薄紙所受總的摩擦力為多大；

②從沖量和動量的定義，結合牛頓運動定律和運動學規(guī)律，證明：水平拉力和桌面對薄紙摩擦力的總沖量等于物塊和紙的總動量的變化量。（注意：解題過程中需要用到、但題目中沒有給出的物理量，要在解題中做必要的說明。）

（2）若薄紙質量可忽略，紙的后邊緣到物塊的距離為L，從開始抽紙到物塊最終停下，若物塊相對桌面移動的距離為S0 ，求此過程中水平拉力所做的功。

Answer 1

【答案】（1）①f總=μ1(M+m)g+μ2Mg②見解析；（2）W=μ1Mg(S0+ L) +μ2MgL

【解析】（1）①從開始抽紙到紙被抽離物塊底部的過程中，

物塊對薄紙施加的摩擦力f物=μ2Mg

水平桌面對薄紙施加的摩擦力f桌=μ1(M+m)g

薄紙受到的總的摩擦阻力f總=μ1(M+m)g+μ2Mg

②從開始抽紙到薄紙被抽離物塊底部的過程，假設物塊的加速度為aM、薄紙的加速度為am，所用時間為t，這一過程物塊和紙張的速度變化量分別為ΔvM，Δvm。

則有ΔvM=aMt，Δvm=amt，

對于薄紙，根據(jù)牛頓第二定律有 F－f桌－f物=mam

對于物塊，根據(jù)牛頓第二定律有 f紙=MaM

由牛頓第三定律有 f物=f紙

由以上三式解得 F－f桌=mam+MaM

上式左右兩邊都乘以時間t，有(F－f桌)t=mamt +MaMt=mΔvm +MΔvM

上式左邊即為水平拉力F和桌面對薄紙摩擦力的總沖量，右邊即為物塊和紙的總動量的變化量。命題得證。

（2）法1：

設物塊在薄紙上加速和在桌面上減速的位移分別為x1，x2，

則物塊對地位移 S0＝x1+x2

因薄紙質量可忽略，故其動能可忽略，所以水平拉力F所做的功有以下一些去向：

薄紙與桌面間的摩擦生熱Q1=μ1Mg (x1+ L)

物塊與薄紙間的摩擦生熱Q2=μ2MgS相=μ2MgL

物塊與桌面間的摩擦生熱Q3=μ1Mg x2

由功能關系有WF=Q1+Q2+Q3

解得WF= μ1Mg(S0+ L) +μ2MgL

所以，水平拉力F所做的功W=μ1Mg(S0+ L) +μ2MgL

法2：

設物塊在薄紙上加速和在桌面上減速的位移分別為x1，x2，

則物塊對地位移 s0＝x1+x2

因薄紙質量可忽略，故其受力平衡，F－f桌－f物=0，得：F= Mg(μ1+μ2)

WF= F(L+x1)

對物塊由動能定理：f紙x1- f桌對物x2=0-0, f桌對物=μ1Mg

解得WF= μ1MgS0+（μ1+μ2）MgL