Question

2．有一空間范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向未知，其電場(chǎng)線(xiàn)與坐標(biāo)xOy平面平行．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，作半徑為R的圓交坐標(biāo)軸于A(yíng)、B、C、D四點(diǎn)，如圖所示．圓周上任意一點(diǎn)P的電勢(shì)的表達(dá)式為φ=kRsinθ+b，式中θ為半徑OP與x軸的夾角，k、b均為已知常量，且有k＞0和b＞0．在A(yíng)點(diǎn)有一放射源，能不斷的沿x軸方向釋放出某種帶正電的粒子，不計(jì)粒子的重力．
（1）求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向；
（2）已知速度大小v₀的粒子恰好能從圖中C點(diǎn)射出該圓，若要使粒子從Q點(diǎn)射出（Q、O的連線(xiàn)與x軸的夾角α=53°），則粒子的速度大小為多少？（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）

Answer 1

分析 這是一道應(yīng)用數(shù)學(xué)三函數(shù)和直角坐標(biāo)系解決物理問(wèn)題的好題：在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一圓周，題目告訴圓周上電勢(shì)的表達(dá)式，求出場(chǎng)強(qiáng)大小和方向是關(guān)鍵．
（1）由表達(dá)式φ=kRsinθ+b 知道，在圓周上有兩個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)是相等的，而電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面垂直，所以垂直這兩點(diǎn)連線(xiàn)的直線(xiàn)就是電場(chǎng)線(xiàn)．至于大小可以找θ=0°和θ=90°的兩個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)差，由U=Ed 可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）從A點(diǎn)射出的粒子，顯然做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，從C點(diǎn)穿出，由水平位移和豎直位移求出圓的半徑R，再由Q點(diǎn)的水平位移和豎直位移求出平拋的初速度．

解答 解：（1）因?yàn)橛?nbsp; sinθ=sin（180°-θ），所以與x軸成180°-θ  的G點(diǎn)兩點(diǎn)的電勢(shì)相等，則PG是一條等勢(shì)線(xiàn)．令θ=0°  則  φ_D=b，令θ=180° 則φ_D=k+b  所以電場(chǎng)的方向是沿y軸的負(fù)方向，如圖所示．據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差關(guān)系得到：$E=\frac{{U}_{DB}}{R}=\frac{{φ}_{D}-{φ}_{B}}{R}$=$\frac{k}{R}$      ①
（2）粒子從A到C，由于初速度方向與電場(chǎng)線(xiàn)垂直，所以粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則：
R=v₀t₁         ②
$R=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$      ③
而$a=\frac{Eq}{m}$      ④
聯(lián)立以上幾式得：$\frac{q}{m}=\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{k}$
粒子從A到Q，仍做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，同樣有：
       R+Rcosα=v₁t₂         ⑤
       $Rsinα=\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$            ⑥
聯(lián)立④⑤⑥得：v₁=$\frac{4\sqrt{5}}{5}{v}_{0}$=1.8v₀．
答：（1）該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{k}{R}$，方向沿y軸負(fù)方向．
（2）已知速度大小v₀的粒子恰好能從圖中C點(diǎn)射出該圓，若要使粒子從Q點(diǎn)射出（Q、O的連線(xiàn)與x軸的夾角α=53°），則粒子的速度大小為1.8v₀．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)學(xué)與物理知識(shí)綜合的好題，題設(shè)已知也很含蓄，特別是電場(chǎng)強(qiáng)度的方向的確定，體現(xiàn)了由數(shù)學(xué)模型向物理模型的轉(zhuǎn)化．只有先確定方向，再根據(jù)函數(shù)式找到兩個(gè)特殊點(diǎn)的電勢(shì)，由勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系求出場(chǎng)強(qiáng)的大小，至于第二問(wèn)是常規(guī)的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的變形．