Question

13．如圖所示，在傾角θ=37°足夠長(zhǎng)的固定斜面上，有一質(zhì)量m=1kg的物體，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，物體在恒力F的作用下從靜止開(kāi)始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)2s運(yùn)動(dòng)了10m．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²），求：
（1）物體沿斜面運(yùn)動(dòng)的加速度大��；
（2）作用在物體上的恒力F的最小值及其與斜面的夾角．

Answer 1

分析 （1）由勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式求出加速度．
（2）對(duì)物體進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出恒力F的最小值及其與斜面的夾角．

解答 解：（1）物體的初速度等于0，2s內(nèi)的位移是10m，由：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ①
所以：a=$\frac{2x}{{t}^{2}}=\frac{2×10}{{2}^{2}}=5m/{s}^{2}$
（2）物體受到重力、斜面的支持力和摩擦力，拉力F的作用，如圖：

沿斜面方向：Fcosα-mgsin37°-μN(yùn)=ma   ②
垂直于斜面的方向：Fsinα+N=mgcos37°   ③
聯(lián)立②③得：F=$\frac{16}{cosα+\frac{\sqrt{3}}{3}sinα}$
令$cosβ=\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$，$sinβ=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+{（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}}$
則：$cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}（cosαcosβ+sinαsinβ）$=$\sqrt{\frac{4}{3}}cos（α-β）$
即當(dāng)α=β時(shí)，cos（α-β）=1，F(xiàn)具有最小值，此時(shí)：$cosβ=\frac{1}{\sqrt{1+{（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：α=β=30°，$F=8\sqrt{3}$N
答：（1）物體沿斜面運(yùn)動(dòng)的加速度大小是5m/s²；
（2）作用在物體上的恒力F的最小值是$8\sqrt{3}$N，此時(shí)其與斜面的夾角是30°．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題．