Question

4．如圖所示，左端封閉，右端開口的粗細均勻的U形管豎直放置，左端用水銀封閉著長L=15cm的理想氣體，當初始溫度為57℃時兩端液面相平．設外界大氣壓為75cmHg．
（i）若讓封閉氣體緩慢降溫，當左管液面高出右管△h=2cm時，氣體溫度為多少攝氏度？
（ii）若溫度保持57℃不變，要想使兩管液面高度差為△h=2cm，需從右管取走或注入水銀柱長度H多少？

Answer 1

分析 （1）分別求出封閉氣體初態(tài)和末態(tài)的壓強，由氣態(tài)方程求解封閉氣體溫度．
（2）保持57°C不變，為了使左、右兩管中的水銀面高度差為△h=2cm，需從右管的開口端再緩慢注入（取走）的水銀，封閉氣體發(fā)生等溫變化，水銀面相平時，封閉氣體的壓強等于大氣壓，由玻意耳定律和幾何關系求出水銀柱高度H．

解答 解：（1）氣體的初狀態(tài)：P₁=P₀=75cmHg，V₁=LS=15Scm³，T₁=273+57=330K
當左管液面高出右管△h=2cm時，說明左側管中的水銀面上升1cm，右側管中的水銀面向下下降1cm，此時氣體的狀態(tài)：
P₂=P₀-△h=75-2=73cmHg；V₂=（L-1）S=14Scm³，T₂=？？
由理想氣體的狀態(tài)方程得：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
代入數據整理得：T₂≈300K=27℃
（2）Ⅰ：若從右側管中取走水銀，則右側的水銀面降低，則左側的水銀面高，左側管中的壓強：
P₃=P₀-△h=75-2=73cmHg，
設左側氣體的長度為L₃，氣體做等溫變化，則：
P₁V₁=P₃L₃S
將相關的數據代入公式得：L₃=15.41cm
所以需要取走的水銀柱的長度：△L₁=△h+2×（L₃-L）=2+（15.41-15）×2=2.82cm
Ⅱ：若在右側管中注入水銀，則右側的水銀面升高，則右側的水銀面高，左側管中的壓強：
P₄=P₀+△h=75+2=77cmHg
設此時左側氣體的長度為L₄，氣體做等溫變化，則：
P₁V₁=P₄L₄S
代入數據整理得：L₄=14.61cm
所以需要注入的水銀柱的長度：△L₂=2+2（L-L₄）=2+2×（15-15.61）=2.78cm
答：（i）若讓封閉氣體緩慢降溫，當左管液面高出右管△h=2cm時，氣體溫度為27攝氏度；
（ii）若溫度保持57℃不變，要想使兩管液面高度差為△h=2cm，需從右管取走2.82cm，注入水銀柱長度2.78cm．

點評 本題考查能用靜力學觀點確解決各處壓強的關系．同時注意研究過程中哪些量不變，哪些量變化，選擇合適的氣體實驗定律解決問題；另外，要注意當兩管液面高度差為△h=2cm時，向右側注入水銀與從右側取走水銀時，氣體的壓強與體積均不同，需要分別計算，不能由遺漏．