Question

12．如圖1所示，水平轉盤可繞豎直中心軸轉動，盤上疊放著質量均為1kg的A、B兩個物塊，B物塊用長為0.25m的細線與固定在轉盤中心處的力傳感器相連，兩個物塊和傳感器的大小均可不計．細線能承受的最大拉力為8N，A、B間的動摩擦因數為0.4，B與轉盤間的動摩擦因數為0.1，且可認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．轉盤靜止時，細線剛好伸直，傳感器的讀數為零．當轉盤以不同的角速度勻速轉動時，傳感器上就會顯示相應的讀數F（g=10m/s²）．
（1）當B與轉盤之間的靜摩擦力達到最大值時，求F的大小和轉盤的角速度ω₁；
（2）當A與B恰好分離時，求F的大小和轉盤的角速度ω₂；
（3）試通過計算在如圖2坐標系中作出F-ω²圖象．

Answer 1

分析 （1）對AB整體分析，當繩子剛有拉力時，摩擦力達到最大，根據牛頓第二定律求出繩子剛有拉力時轉盤的角速度，從而得出拉力為零時的角速度范圍．
（2）對B分析，通過最大靜摩擦力結合牛頓第二定律求出剛要滑動時的角速度，根據牛頓第二定律求出此時拉力的表達式以及角速度的范圍．對A分析，根據最大拉力以及A所受的最大靜摩擦力，通過牛頓第二定律求出繩子剛要斷時的角速度，以及繩子拉力的表達式．
（3）結合各個階段拉力的表達式和角速度的范圍作出圖線．

解答 解：（1）對AB整體分析，當繩子剛有拉力時，根據牛頓第二定律得：${μ}_{1}•2mg=2m{{rω}_{1}}^{2}$，
當B物體與將發(fā)生滑動時的角速度為：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{{μ}_{1}g}{r}}$=$\sqrt{\frac{1}{0.25}}=2rad/s$，
（2）當A物體所受的摩擦力大于最大靜摩擦力時，A將要脫離B物體，此時的角速度由：${μ}_{2}•mg=m{{rω}_{2}}^{2}$得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{{μ}_{2}g}{r}}=\sqrt{\frac{4}{0.25}}=4rad/s$
此時繩子的張力為：T=2mω²r-μ₁2mg=2×16×0.25-2=6N＜8N，故繩子末斷
接下來隨角速度的增大，B脫離A物體．
（3）根據（1）可知，T=0，ω∈[0，2]；
根據（2）可知，$T=2m{ω}^{2}r{-μ}_{1}2mg=0.5{ω}^{2}-2$（ω∈[2，4]）
只有A物體作勻速圓周運動，當拉力最大時的角速度為ω₃，根據牛頓第二定律得：
${T}_{max}{+μ}_{1}mg=mr{{ω}_{3}}^{2}$
則：${ω}_{3}=\sqrt{\frac{8+1}{0.25}}=6rad/s$，
則當角速度為：ω₂，$m{{rω}_{2}}^{2}=1×16×0.25=4N{＞μ}_{1}mg$
即繩子產生了拉力．
則：$T=2m{ω}^{2}r{-μ}_{1}mg=0.25{ω}^{2}-1$，ω∈[4，6]．
則坐標系中作出 F-ω²圖象如圖所示．
答：（1）當B與轉盤之間的靜摩擦力達到最大值時，F的大小是0，轉盤的角速度為2rad/s；
（2）當A與B恰好分離時，F的大小是6N，轉盤的角速度是4rad/s；
（3）坐標系中作出 F-ω²圖象如圖所示．

點評 解決本題的關鍵正確地確定研究對象，搞清向心力的來源，結合臨界條件，通過牛頓第二定律進行求解．