Question

12．探月工程二期“嫦娥三號”成功發(fā)射．這極大地提高了同學(xué)們對月球的關(guān)注程度，以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識設(shè)計(jì)的問題情景：
假設(shè)月球半徑為R，“嫦娥三號”在離月球中心距離為r的圓形軌道I運(yùn)動，其運(yùn)動周期為T，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道II，到達(dá)軌道的近月B再次點(diǎn)火變軌到貼近月球表面的軌道III繞月球作圓周運(yùn)動，此時“嫦娥三號”的速度即為該星球的第一宇宙速度．在軌道III運(yùn)行多圈后，“嫦娥三號”點(diǎn)火減速實(shí)現(xiàn)在月球上的軟著陸．
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）嫦娥三號繞圓形軌道I做勻速圓周運(yùn)動時，萬有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，又因?yàn)樵谠虑虮砻嫒f有引力近似等于重力G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，聯(lián)立可解得月球表面的重力加速度g．
（2）由萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，結(jié)合G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，代入g的值，可解得月球的第一宇宙速度

解答 解：（1）設(shè)月球的質(zhì)量為M，嫦娥三號的質(zhì)量為m．嫦娥三號繞圓形軌道I做勻速圓周運(yùn)動時，由萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，
設(shè)月球表面的重力加速度為g，在月球表面萬有引力近似等于重力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
聯(lián)立解得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
（2）嫦娥三號在貼近月球表面的圓軌道上運(yùn)動的線速度為v，由萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
聯(lián)立以上各式，解得：v=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）月球表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
（2）月球的第一宇宙速度為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

點(diǎn)評 本題主要考查萬有提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²）²和在星球表面萬有引力近似等于重力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg，這兩個關(guān)系對于解決天體運(yùn)動問題非常重要，一定要理解并掌握．