Question

2．如圖所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場．在豎直平面上建立平面直角坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)固定絕緣光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周軌道，軌道的兩端在坐標(biāo)軸上．質(zhì)量為m的帶正電的小球從軌道上端由靜止開始滾下，已知重力為電場力的2倍，求：
（1）在軌道上小球獲得最大速度的位置坐標(biāo)；
（2）小球在軌道最低點時對軌道的壓力；
（3）小球脫離軌道后，當(dāng)速度豎直向下時，速度的大小和所在點的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球在軌道上的速度最大時，設(shè)此時小球所在的半徑與豎直方向夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)動能定理求出小球運動到最低點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得知小球在B點對軌道的壓力．
（3）小球脫離B點后，在豎直方向上做自由落體運動，在水平方向上做加速度不變的勻減速直線運動．即可求得

解答 解：（1）由三角形的相似性得：$\frac{X}{y}=\frac{Eq}{mg}$
X²+Y²=R²
所以：位置坐標(biāo)（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}R，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}R$）
（2）由動能定理得：$mgR-EqR=\frac{1}{2}m{V^2}$
由向心力得：${F_N}-mg=\frac{{m{V^2}}}{R}$
 由牛頓第三定律：F_N=F'_N
所以：F'_N=2mg方向豎直向下
（3）由上面可知$V=\sqrt{gR}$，
在水平方向上：Eq=ma，V²=2ax．
在豎直方向上初速度是零，水平方向上末速度是零，由$X=\frac{1}{2}a{t^2}$得：
X_豎=2x．
所以坐標(biāo)為（-x，X_豎+R）
即：（-R，3R）
答：（1）在軌道上小球獲得最大速度的位置坐標(biāo)（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}R，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}R$）
（2）小球在軌道最低點時對軌道的壓力2mg；
（3）小球脫離軌道后，當(dāng)速度豎直向下時，速度的大小和所在點的位置坐標(biāo)（-R，3R）

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵掌握小球脫離B點后在水平方向上和豎直方向上的運動規(guī)律．