Question

【題目】某電視節(jié)目中演示了一個(gè)用三根火柴棍和細(xì)棉線懸掛起一瓶或多瓶礦泉水的實(shí)驗(yàn)，如圖所示。A、B、C為三根相同的火柴棍，火柴棍長為l，細(xì)實(shí)線為棉線，棉線的直徑為d(d<<l)�；鸩窆�A的一半在水平桌面內(nèi)，另一半在桌面外，火柴棍A與桌面上表面的邊沿垂直；桌面厚度為h；O是火柴棍A的中點(diǎn)與桌面邊沿的接觸點(diǎn)；棉線緊貼桌沿繞過A，壓在水平火柴棍C的兩端；火柴棍B的一端頂在火柴棍A的球狀頭部(可近似忽略球狀頭部的尺度)，另一端頂在火柴棍C的中點(diǎn)。這樣的結(jié)構(gòu)可以穩(wěn)定地懸掛起一瓶或多瓶礦泉水。已知火柴棍與桌沿、火柴棍與棉線以及火柴棍之間都足夠粗糙(即可以沒有滑動(dòng))，而且它們的質(zhì)量與重物相比均可忽略。

（1）如果沒有火柴棍B和C，光靠A是否可能懸掛起一瓶礦泉水?為什么?

（2）加上火柴棍B和C、小心掛上重物時(shí)，火柴棍A會(huì)在過A的豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)有一個(gè)角位移，通過火柴棍B的帶動(dòng)，壓在火柴棍C兩端的棉線將繞桌面下表面的邊沿轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)很小的角度；只要角度大小合適，可使整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定平衡。求平衡時(shí)該角度的大小。

Answer 1

【答案】（1）不能，從力的平衡看，單一的火柴棍A無法提供向上的力與一瓶礦泉水的重力平衡；從力矩的平衡看，重物相對于支撐點(diǎn)O有一力矩，此力矩沒有其它力矩與其平衡，會(huì)使火柴棍轉(zhuǎn)動(dòng)直至掉；（2）

【解析】

（1）不能。從力的平衡看，單一的火柴棍A無法提供向上的力與一瓶礦泉水的重力平衡；從力矩的平衡看，重物相對于支撐點(diǎn)O有一力矩，此力矩沒有其它力矩與其平衡，會(huì)使火柴棍轉(zhuǎn)動(dòng)直至掉下。

（2）由于火柴棍A水平，火柴棍B的下端正好在A的中點(diǎn)的正下方，由幾何關(guān)系知，火柴棍A和B之間的夾角為=60°，桌面上表面邊沿O點(diǎn)到火柴棍B的下端(即火柴棍C的中點(diǎn))的距離為L=l，又由于火柴棍C水平，由幾何關(guān)系知，從O點(diǎn)到火柴棍C兩端的距離均為l，如圖(a)所示。據(jù)題意，三根火柴的結(jié)構(gòu)在重物質(zhì)量逐漸增大時(shí)是穩(wěn)定的。因而火柴棍C繼續(xù)保持水平，火柴棍B和A之間的夾角也能得以保持不變，即圖(b)中，火柴棍A和B之間的夾角仍然為60°。

瓶最終穩(wěn)態(tài)應(yīng)該在何處？應(yīng)該在O點(diǎn)正下方！又因?yàn)槊蘧�是有一定的線度，直徑為d。一開始瓶的縱向幾何中心與棉線的縱向幾何一直線，最終瓶的縱向幾何中心在O點(diǎn)的正下方。所以：①瓶向左平移的距離為；②瓶最終的轉(zhuǎn)動(dòng)中心在桌子下邊沿，O點(diǎn)正下方的D點(diǎn)。如圖(c)，D′是棉線縱向軸線的位置，是瓶縱向中心的原位置。D是瓶的縱向中心的新位置。所以瓶轉(zhuǎn)過的角度∠DED′=θ，DD′=，且因?yàn)槭俏⑿〉霓D(zhuǎn)動(dòng)，故由微量處理知

OO ′=DD′=

同理

O′D′=OD=h

D′E=DE=L－h=

故

sinθ=

平衡時(shí)該角度的大小

θ=arcsin