如圖所示,豎直平面內(nèi)有一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m,電阻為R的正方形線框在豎直向下的勻強(qiáng)重力場(chǎng)和水平方向的磁場(chǎng)組成的復(fù)合場(chǎng)以初速度v0水平拋出.磁場(chǎng)方向與線框平面垂直,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨豎直向下的z軸按B=B0+kz的規(guī)律均勻增大.已知重力加速度為g.求:
(1)線框豎直方向速度為v1時(shí),線框中瞬時(shí)電流的大小;
(2)線框在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大電功率;
(3)若線框從開始拋出到瞬時(shí)速度大小達(dá)到v2所經(jīng)歷的時(shí)間為t,那么線框在時(shí)間t內(nèi)的總位移大小為多少.
分析:(1)線框豎直方向速度為v1時(shí),左右兩邊切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求上下兩邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).e=△BLv1,△B=k△z=kL.
再由歐姆定律求感應(yīng)電流.
(2)線框在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),速度最大,此時(shí)重力與磁場(chǎng)力平衡,由平衡條件,結(jié)合安培力表達(dá)式,求出最大速度.框在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大電功率與重力功率相等.
(3)線框從拋出到速度v2過程,根據(jù)牛頓第二定律:mg-(B2-B1)IL=ma=m
v2
△t
,得到速度的變化量,再兩邊求和,運(yùn)用積分法即可求得總位移大小.
解答:解:(1)線框豎直方向速度為v1時(shí),左右兩邊切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消,上下兩邊產(chǎn)生的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為:e=△BLv1,
而△B=k△z=kL,則得e=kL2v1
線框中瞬時(shí)電流的大小為i=
e
R
=
kL2v1
R

(2)由線框在復(fù)合場(chǎng)中的速度最大時(shí),重力與磁場(chǎng)力平衡得
   mg=(B2-B1)IL=
(B2-B1)2L2vmz
R
=
k2L4vmz
R

vmz=
mgR
k2L4

由能量關(guān)系得:線框在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大電功率與重力功率相等,即有
  Pmax=mgvmz=
m2g2R
k2L4

(3)線框從拋出到速度v2過程,由牛頓第二定律得  mg-(B2-B1)IL=ma=m
vz
△t

則得 mg△t-
(B2-B1)2L2vz
R
△t=m△vz
兩邊求和得 
  
 
 
mg△t-
 
 
(B2-B1)2L2vz
R
△t=
 
 
m△vz
 
 
vz△t=△z,B2-B1=kL,
則得 mgt-
k2L4
R
△z=m
v
2
2
-
v
2
0

時(shí)間t內(nèi)z方向位移△z=
(mgt-m
v
2
2
-
v
2
0
)R
k2L4

而線框水平所受的安培力的合力為零,所以水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).則
時(shí)間t內(nèi)線框的總位移大小為s=
(mgt-m
v
2
2
-
v
2
0
)
2
R2
k4L8
+
v
2
0
t2

答:
(1)線框豎直方向速度為v1時(shí),線框中瞬時(shí)電流的大小為
kL2v1
R
;
(2)線框在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大電功率是
m2g2R
k2L4

(3)若線框從開始拋出到瞬時(shí)速度大小達(dá)到v2所經(jīng)歷的時(shí)間為t,線框在時(shí)間t內(nèi)的總位移大小為為s=
(mgt-m
v
2
2
-
v
2
0
)
2
R2
k4L8
+
v
2
0
t2
點(diǎn)評(píng):本題中磁場(chǎng)是非勻強(qiáng)磁場(chǎng),線框四邊都切割磁感線,左右兩邊電動(dòng)勢(shì)抵消,所受的安培力也抵消,根據(jù)E=BLv分別得到上下兩邊的電動(dòng)勢(shì),再求總電動(dòng)勢(shì).本題的難點(diǎn)是運(yùn)用積分法求豎直方向的位移,其切入口是牛頓第二定律及加速度的定義式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)物塊通過軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小?
(2)物塊通過軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小?
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(1)落點(diǎn)D與O點(diǎn)的水平距離S;
(2)釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度h;
(3)若小球釋放點(diǎn)距離A點(diǎn)的高度為H,假設(shè)軌道半徑R可以改變,當(dāng)R取多少時(shí),落點(diǎn)D與圓心O之間的距離最大,并求出這個(gè)最大值.

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34
倍.不計(jì)一切摩擦.現(xiàn)將小球從M點(diǎn)右側(cè)的D點(diǎn)由靜止釋放,DM間距離x0=3R.
(1)求小球第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)的速度vA大小,及半圓環(huán)對(duì)小球作用力N的大。
(2)小球的半圓環(huán)所能達(dá)到的最大動(dòng)能Ek

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A、小環(huán)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中,彈簧的彈性勢(shì)能先減小后增大
B、小環(huán)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中,小環(huán)的電勢(shì)能一直增大
C、電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=
mg
q
D、小環(huán)在A點(diǎn)時(shí)受到大環(huán)對(duì)它的彈力大小F=mg+
1
2
kL

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mgq
,求:
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(2)小球到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)C速度最小值時(shí),在斜面上釋放小球的位置距離地面有多高?(結(jié)論可以用分?jǐn)?shù)表示)

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